Definir$\mathbb{C}$ sin definir$\mathbb{R}$

Question

Para definir$\mathbb{R}$, un enfoque es comenzar con$\mathbb{N}$ y luego introducir sistemáticamente$\mathbb{Z},$$\mathbb{Q}$, y luego$\mathbb{R}$. Alternativamente, definimos$\mathbb{R}$ usando su definición axiomática de que es un campo completo ordenado. Y luego, podemos construir$\mathbb{N}$,$\mathbb{Z}$ y$\mathbb{Q}$ dentro de$\mathbb{R}$.

Ahora,$\mathbb{C}$ se introduce de la primera manera, haciendo$\mathbb{R}^2$ como un campo. ¿Podemos seguir el último enfoque de definir$\mathbb{C}$ axiomáticamente y luego construir$\mathbb{R}$ dentro de él?

Answer 1

Usted puede encontrar esto útil.

Sin embargo, no estoy de acuerdo con algunos de la filosofía incrustado en su pregunta. Usted escribe:

Alternativamente, definimos R mediante su definición axiomática de que se trata de una completa ordenó campo. Y entonces, podemos construir N, Z y Q dentro de R.

Con una pequeña advertencia, esto no es realmente correcto, en la medida en que realmente no se puede "construir cosas axiomáticamente" - que no es cómo funciona la matemática. En particular, para definir una cosa, usted debe:

1. Construir fuera de las cosas que ya se sabe que existe, o
2. Se caracterizan por algunas limitaciones y, a continuación, probar que existe una única cosa, la satisfacción de las restricciones.

Aviso de la negrita parte de arriba. Supongamos que queremos definir $\mathbb{R}$ axiomáticamente - bien, pero usted necesita para demostrar que no hay una única cosa, hasta isomorfismo la satisfacción de su definición. La singularidad debe ser bastante fácil. Pero ¿cómo se puede demostrar la existencia? Bien, probablemente comience por la construcción de $\mathbb{N}$, y en la construcción de su camino a $\mathbb{Q}$ y tomando una finalización. Así que esto no es realmente una alternativa. Por supuesto, usted podría hacer las cosas de manera diferente. Por ejemplo, usted podría comenzar por la construcción de la surrealista números de forma recursiva y, a continuación, obtener un $\mathbb{R}$ como un subconjunto de aquellos - que sería una manera diferente de construir $\mathbb{R}$. Pero al final del día, todavía no se han "construido $\mathbb{R}$ axiomáticamente" - usted ha construido de una manera diferente.

La advertencia de que he mencionado anteriormente es que se puede reemplazar el axioma de infinitud en ZFC con un axioma que, en lugar plantea la existencia de una real los números de objeto, obteniendo de esta manera un nuevo sistema, vamos a llamar a ZFCR. Parece probable que ZFCR es equivalente a ZFC, por las razones que se dan.

Answer 2

Tal vez la única manera algebraica y topológicamente completa parcialmente ordenado de campo de carácter $0$?

Sin embargo, no estoy seguro de que es cierto de caer desde ordenó a parcialmente ordenado abre una gran cantidad de libertad que pueden permitir a los demás contendientes.

Yo soy la modificación de esta respuesta (la idea anterior es altamente dudoso) a la dirección de Arvind preguntas en el 6 de julio de comentarios a continuación.

Aquí es un esquema de un enfoque para demostrar que $\Bbb C$ es decir, hasta el isomorfismo, la única conectado localmente topológicos compactos campo de la característica $0$ que permanece conectado al $0$ es eliminado. No puede ser más fácil enfoques, y no he ido a través de los pasos de mí para asegurarse de que no hay obstáculos significativos que estoy vistas, pero este es el enfoque que me gustaría probar:

Deje $\mathscr C$ ser conectado localmente topológicos compactos campo de la característica $0$ que $\mathscr C \setminus \{0\}$ también está conectado. Tenemos que mostrar que $\scr C$ es isomorfo a $\Bbb C$ topológica de los campos.

• Deje $\scr N\subset C$ ser el conjunto más pequeño que contiene a$0$$1$, y cerrado bajo la suma. Uno puede inductivamente definir bien el pedido en $\scr N$ por el requisito de que $n < n + 1$. El uso de este bien ordenar, definir un isomorfismo de monoids con $\Bbb N$ que también conserva la multiplicación. (Tenga en cuenta que esto requiere de $\scr C$ a ser de carácter $0$).
• Deje $\scr Z$ ser el conjunto más pequeño que contiene a $\scr N$ cerrado bajo la resta. Extender la orden en $\scr N$$\scr Z$. El fin de la preservación de isomophism de monoids entre el $\scr N$ $\Bbb N$ se extiende a una orden de preservación de isomorfismo de unital anillos entre el$\scr Z$$\Bbb Z$.
• Deje $\scr Q$ ser el más pequeño campo en $\scr C$. Tenga en cuenta que debe contener $\scr Z$. Mostrar que el orden y el isomorfismo se extienden también a $\scr Q$, donde el isomorfismo es un isomorfismo topológico de los campos.
• El uso de la continuidad de la $+, \cdot$ operadores para mostrar que la topología en $\scr Q$ inducida por el orden es la misma que la topología de subespacio de $\scr C$
• Deje $\scr R$ ser el cierre de $\scr Q$. Demostrar que también es un campo, y el orden y el isomorfismo se extienda también. Y, de nuevo, que el fin de la topología es la misma que la topología de subespacio. Tenga en cuenta que esto también muestra $\scr R$ es completo, ya que los $\Bbb R$ es.
• Tenga en cuenta que $\scr C$ es un espacio vectorial sobre el subcampo $\scr R$. El uso local de la compacidad en $0$ a demostrar que el espacio vectorial debe ser finito dimensional.
• Desde $\scr R$ es isomorfo a $\Bbb R$, sabemos que $\scr R[x]/(x^2 + 1)$ es algebraicly cerrado. Por lo tanto el único finito dimensionales extensiones de $\scr R$ tiene dimensión $1$ o $2$. Si $\scr C$ tiene dimensión $1$$\scr R$, debe ser $\scr R$ sí.
• Tenga en cuenta que $\scr R \setminus \{0\}$ está desconectado (ya que es isomorfo a $\Bbb R$), pero $\scr C \setminus \{0\}$ está conectado. Por lo tanto,$\scr C \ne \scr R$.
• A la conclusión de que $\scr C$ es una de dos dimensiones de la extensión de $\scr R$, y por lo tanto isomorfo a $\scr R[x]/(x^2 + 1)$, que contiene dos elementos $i$ satisfacción $i^2 = -1$. Elegir uno de ellos arbitrariamente a ser "$i$", y utilizar para ampliar la isomophism entre el $\scr R$ $\Bbb R$ a un isomorfismo entre el$\scr C$$\Bbb C$.