Estoy escribiendo esto para contribuir a la conjetura y la prueba dada.
Si el ángulo en el $B$ es un ángulo más grande del triángulo $ABC,$, entonces la conjetura es verdadera (siempre que permiten a los puntos de la cíclico "pentágono" a coincidir). Por otra parte, este pentapunctual círculo es único. Esto es claro cuando se $ABC$ es escaleno, porque si uno usa $A$ o $C$ en lugar de $B,$ el ángulo es mayor, entonces necesariamente los puntos de $D$ $E$ no puede existir desde $AC$ es el lado más largo, por lo que supera tanto en $AB$ $BC.$ Si el triángulo es isósceles (o incluso equilátero), entonces a partir de la $\hat B$ es igual a por lo menos otro ángulo, la simetría impone que sólo un círculo que existe.
Me doy cuenta de que ha añadido algo acerca de la identidad de este "$5$" punto de círculo. De nuevo, es de hecho el caso de que su centro coincida con el incentre $I$ de la $\triangle ABC,$ desde $DF$ $EG$ son los acordes de este círculo, sus mediatrices han de cruzarse en su centro $I'.$, Pero también sabemos que los triángulos $ADF$ $CEG$ son isósceles con $AD=AF$ $CE=CG$ respectivamente. Por lo tanto, las mediatrices de los lados $DF$ $EG$ también debe ser bisectrices de los ángulos de $\hat A$ $\hat C$ respectivamente. Esto muestra que la intersección $I'$ no es diferente de $I.$
PS. Esto no está directamente relacionado, pero permítanme señalar una interesante relación entre la circunferencia inscrita y la circunferencia circunscrita de cualquier triángulo $ABC$, lo que yo no había aprendido antes. Vamos a la intersección de la circunferencia inscrita con $AB,BC,CA$ $C',A',B'$ respectivamente. A continuación, las líneas de $AA',BB',CC'$ se cruzan en el centro del triángulo $Q$ que me han llamado la quasicentroid. Por supuesto, hay miles de conocido triángulo de centros (cf. La Enciclopedia de Triángulo Centros), pero he sido incapaz de determinar si $Q$ es parte de los clasificados de los centros, y si es así, ¿bajo qué nombre, por lo tanto la tentativa término "quasicentroid."
Edit: El punto llamé $Q,$ I posteriormente descubierto, es más bien conocido como el punto de gergonne del triángulo.
