Sistemas de números que violan los primos fáciles

Question

Muchos estudiantes se sorprenden al saber que la definición de primo no es generalmente "sólo divisible por 1 y por sí mismo" para los sistemas numéricos generales.

¿Cuáles son algunos ejemplos de sistemas numéricos para los que $p|ab$ implica $p|a$ o $p|b$ no es equivalente a la definición $p$ sólo es divisible por 1 y por sí mismo? ¿Y construcciones explícitas si se violan los números en estos sistemas?

Answer 1

En sistemas más generales, estas dos nociones son diferentes y tienen nombres distintos:

• "irreductible" significa algo que no puede descomponerse más.

• "primo" significa algo que divide al menos un factor de un producto si lo divide.

Considere el conjunto $2\mathbb N$ . Entonces $30$ es un elemento irreducible de $2\mathbb N$ . Ahora, $30$ divide $60=6\cdot10$ pero no divide $6$ o $10$ . Por lo tanto, $30$ no es primo en $2\mathbb N$ .

Otro ejemplo clásico es el monoide de Hilbert $4\mathbb N+1$ . Entonces $21$ es irreducible pero no primo porque $21$ divide $9 \cdot 49$ pero no divide $9$ o $49$ .

En ambos sistemas, los números siempre se pueden descomponer en productos de irreducibles, pero esta descomposición no siempre es única porque no todos los irreducibles son primos.

Answer 2

Si quieres un ejemplo que sea un dominio integral , considere el anillo $\mathbf{Z}[i \sqrt3]$ que consiste en números complejos de la forma $$ z = a + b i \sqrt{3} ,\qquad a,b \in \mathbf{Z} . $$ Entonces $$ 4 = 2 \cdot 2 $$ y $$ 4 = (1+i \sqrt3)(1-i \sqrt3) $$ son dos factorizaciones esencialmente diferentes de $4$ en elementos irreducibles.

Que los números $z=2$ y $z=1 \pm i \sqrt3$ son irreducible en este anillo se puede ver al contemplar el $\mathbf{Z}$ -función valorada $N(z)=|z|^2=a^2+3b^2$ que tiene la propiedad multiplicativa $N(z_1 z_2)=N(z_1)N(z_2)$ . Desde $N(z)=4$ en ambos casos, y $N=1$ sólo para los elementos invertibles $\pm 1$ una factorización no trivial $z=w_1 w_2$ tendría que tener $N(w_1)=N(w_2)=2$ pero el anillo no contiene elementos con $N=2$ .

Por otro lado, esos números no pueden ser prime en este anillo, ya que una factorización de un elemento del anillo en primos es siempre esencialmente único (es decir, único hasta la reordenación y la multiplicación por elementos invertibles), y vimos dos factorizaciones diferentes de $4$ arriba.