$(p\!-\!1\!-\!h)!\,h! \equiv (-1)^{h+1}\!\!\pmod{\! p}\,$ [Fórmula de reflexión de Wilson]

Question

Supongamos que $p$ es un primo. Supongamos además que $h$ y $k$ son enteros no negativos tales que $h + k = p 1$ .

Quiero demostrar que $h!k! + (1)^h \equiv 0 \pmod{p}$

Mi primer pensamiento es que por el teorema de Wilson, $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$ y $h!k!$ divide $(p-1)!$ (definición de un binomio). ¿A dónde iría a partir de aquí?

Answer 1

Utilice el hecho de que

$$h! = (-1)^h (p-1)(p-2) \dots (p-h) \mod p$$

Answer 2

Teorema de Wilson $\Rightarrow$ cualquier sistema completo de representantes $\,r_i\,$ de $\rm\color{#c00}{nonzero}$ residuos mod. $\,p\,$ tiene producto $\equiv -1,\,$ por $\,r_i\equiv i\,\Rightarrow\,\displaystyle \prod_{i=1}^{p-1} r_i\equiv \prod_{i=1}^{p-1} i \equiv (p-1)!\equiv -1\,$ por extensión inductiva de Regla del producto de congruencia . En particular, esto es cierto para cualquier secuencia de $\,p\,$ enteros consecutivos, después de eliminar su único $\rm\color{#c00}{multiple}$ de $\,p.\,$ Su caso especial es la secuencia $$\, \underbrace{\color{#90f}{-h},\,-h\!+\!1,\ldots,\color{#0a0}{-1}}_{\!\!\textstyle\equiv\,\color{#90f}{k\!+\!1},\,k\!+\!2,\cdots,\color{#0a0}{p\!-\!1}}\!\!\!\!,\require{cancel}\color{#c00}{\cancel{0,}} 1,2,\ldots, k\ \ \ \text{whose product is}\,\ \ (-1)^h h!\,k!\equiv -1\qquad$$

desde $\,\color{#90f}{-h\equiv k\!+\!1}\,$ por $\,h\!+\!k\!+\!1\equiv p\equiv 0$

Nota: $\ $ Se trata de una ligera reformulación de la fórmula de reflexión de Wilson mencionado ayer

$$ k! = (p\!-\!1\!-\!h)! \equiv \frac{(-1)^{h+1}}{h!}\!\!\pmod{\! p},\,\ \ 0\le h< p\ {\rm prime}\qquad $$