Extensiones de campo, límites inversos, notación y raíces de la unidad

Question

Tengo la esperanza de poder conseguir un poco de ayuda con una revisión del problema y también una cuestión de notación no estoy seguro (aunque puede que no sea estándar). Me parece recordar que va sobre esto o algo similar en algún lugar en línea hace un par de meses, pero no puedo encontrar ningún ejemplo de enlace para la vida de mí, tengo miedo. Si alguien lo ha visto dude que me apunte en la dirección correcta.

Supongamos $A_n \,(n \in \mathbb{N})$ son conjuntos, grupos, anillos, etc., y hemos homomorphisms $\pi_n: A_{n+1} \to A_n$. Definimos el límite inversa de a$A_n$$\lim \limits_{\longleftarrow}A_n = \{(x_n)_{n \geq 1}: x_n \in A_n,\, \pi_n(x_{n+1} = x_n \forall n\}$. De manera más general, podemos índice por algunos parcialmente conjunto ordenado $I$ con mapas de transición $f_{ij}:A_j \to A_i$ siempre $i \leq j$, de tal manera que $f_{ii} = id_{A_{i}}$. Vamos a escribir $\mathbb{Z}_p$ para denotar el p-ádico enteros (no $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$).

Ahora bien, primero de todo, algunos de los problemas que estoy viniendo a través de referirse al objeto de $\widehat{\mathbb{Z}}$, y me pregunto si esta es la notación estándar para algún tipo de conclusión o de otra operación en $\mathbb{Z}$: sé que $\widehat{\mathbb{Z}}$ es isomorfo a $\lim \limits_{\longleftarrow} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ con un orden parcial por la divisibilidad. He probado también es isomorfo a $\prod_p \mathbb{Z_p}$, el producto que es más de todos los números primos $p$, y un par de otras cosas también.

Sin embargo, he estado probando estos isomorphisms demostrando un isomorfismo a $\prod_p \mathbb{Z}_p$. Acaso hay algunos más "canónica" sentido de la $\widehat{\mathbb{Z}}$, por lo que estos isomorphisms tendría sentido? Por supuesto, como digo, esto no puede ser estándar, por lo que si nada de lo obvio viene a la mente entonces no te preocupes.

Ahora en el problema principal, otro límite inversa: quiero demostrar que

$Gal(\mathbb{Q}(\bigcup \limits_{n \geq 1} \mu_n)/\mathbb{Q}) \cong \widehat {\mathbb{Z}}^\times$,

donde $\mu_n$ es el grupo de $n$-th raíces de la unidad, y podemos tomar $\widehat{\mathbb{Z}}$ a ser lo que isomorfismo que he mencionado anteriormente es más fácil trabajar con. Tenga en cuenta que esto es $\widehat {\mathbb{Z}}^\times$ sin embargo, en lugar de $\widehat {\mathbb{Z}}$ que tuvimos en la anterior isomorphisms (esta es la razón, estoy dispuesto a averiguar lo que el sombrero representa).

Tengo el resultado que para $K$ un campo perfecto y $\bar{K}$ su algebraica de cierre, $Gal(\bar{K}/K) =\lim \limits_{\longleftarrow} Gal(L/K) $ donde el límite inversa es $L/K$ finito, y parcialmente ordenado por la inclusión de campos. Así, es muy posible que este grupo de Galois sólo necesita ser configurado como un inteligente límite de Galois grupos, tal vez cada uno de los cuales es $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (siempre y cuando tengamos la certeza de que el lado izquierdo es un campo perfecto), pero no puedo entender cómo: no ayuda que no estoy del todo seguro de lo que yo quiero probar un isomorfismo! Cualquier pensamiento o general sugerencias constructivas que han estaría muy agradecida.

Answer 1

El ingrediente principal es la canónica grupo de isomorfismo $$f_n:Gal(\mathbb Q(\mu_n)/\mathbb Q)\stackrel {\cong }{\to} (\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times : \sigma\mapsto \alpha_n=\bar a_n\quad (\star)$$ where $\alpha_n$ is determined by the condition $\sigma(\zeta)=\zeta^{a_n}$ for all $\zeta\en \mu_n$.

La gran cosa acerca de esta ultra-canónica isomorfismo es que es compatible con la divisibilidad en $\mathbb N.$ Es decir, si $n=rm$, podemos escribir cualquier $\omega \in \mu_m$ $\omega=\zeta^r$ $\zeta\in \mu_n$ y, a continuación, para $\sigma$ anterior obtenemos $$\sigma (\omega)=\sigma(\zeta^r)=\sigma (\zeta)^r=\zeta^{a_nr}=\omega^{a_n}$$
de modo que $f_m(\sigma \mid \mathbb Q(\mu_m))=\bar a_n\in (\mathbb Z/m\mathbb Z)^\times$ .

Así, podemos tomar el proyectiva límite de la isomorphisms $(\star)$ y obtener la necesaria isomorfismo $$f:Gal(\mathbb Q(\mu_\infty)/\mathbb Q)\stackrel {\cong }{\to} (\widehat {\mathbb Z})^\times =\lim \limits_{\longleftarrow} \;(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times $$

Tenga en cuenta que $\mathbb Q(\mu_\infty)=\mathbb Q^{ab}$ es también el más grande de abelian extensión de $\mathbb Q$, según un célebre teorema de Kronecker-Weber.