Evaluar el doble de la suma de la $\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{m-1}\frac{ 1}{m n\left(m^2-n^2\right)^2}$

Question

Como seguimiento de esta bonita pregunta estoy interesado en

$$ S_1=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{m-1}\frac{ 1}{m n\left(m^2-n^2\right)^2} $$

Además, sería también muy agradecido por una solución a

$$ S_2=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=m+1}^{\infty}\frac{ 1}{m n\left(m^2-n^2\right)^2} $$

Después de mi respuesta en la pregunta de los mencionados anteriormente y los experimentos numéricos de @Vladimir Reshetnikov, es muy probable que al menos

$$ S_1+S_2 = \frac{a}{b}\pi^6 $$

Creo que ambas sumas puede ser evaluado mediante el uso parcial de la fracción de la descomposición y la representación integral de la Polygamma función , pero no sé exactamente cómo y supongo que podría haber una manera mucho más eficiente de la ruta.

Answer 1

Numéricamente, tengo $$ S_1+S_2 = 0.14836252987273216621 $$ lo cual está de acuerdo con $$ \frac{\pi^6}{6480} $$ También numéricamente, $$ S_1 = 0.074181264936366083104 \\ S_2 = 0.074181264936366083104 $$ son aparentemente iguales.