Regla de sustitución para integrales definidas

Question

Estoy trabajando en un problema de integración por partes, y estoy tratando de sustituirlo para simplificar la ecuación:

ps

Usando la regla de sustitución para integrales definidas, sustituyo$$\int_\sqrt{\frac{\pi}{2}}^\sqrt{\pi} \theta^3 \cos(\theta^2) d\theta$ y las aplico al límite de integración:

ps

Sin embargo, Wolfram | Alpha me dice que he hecho algo mal, ya que estas dos integrales no son equivalentes. ¿Dónde lo arruiné?

Answer 1

Así es como tiendo a pensar sobre la sustitución en integrales: has decidido dejar$t=\theta^2$. La relación correspondiente en diferenciales es$dt=2\theta d\theta$. Ahora, volviendo a la integral, intente reorganizar las partes de la integral en trozos reconocibles. $$ \begin{align} \int_\sqrt{\frac{\pi}{2}}^\sqrt{\pi} \theta^3 \cos(\theta^2) d\theta &=\int_{\theta=\sqrt{\frac{\pi}{2}}}^{\theta=\sqrt{\pi}} \theta^2 \cos(\theta^2)\frac{1}{2}\cdot 2\theta d\theta \\ &=\frac{1}{2}\int_{t=\frac{\pi}{2}}^{t=\pi} (\theta^2) \cos(\theta^2)(2\theta d\theta) \\ &=\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} t \cos(t)dt \end {align} $$ En particular, observe que el$d\theta$ no se convierte mágicamente en$dt$; más bien,$dt$ reemplaza la expresión equivalente$2\theta d\theta$.

Answer 2

Tenemos $dt = 2 \theta \ d \theta$. Entonces debes multiplicar por$\frac{1}{2}$.