¿Es posible expresar una ecuación integral dentro de una circunvolución?

Question

Dado$$u(t) = \int_0^t y(\tau) d\tau$ $

Considere un tipo de convolución de integral

ps

$$W = \int_0^t\lambda^{t-\tau}y(\tau) d\tau$ un número real positivo

¿Es posible escribir$\lambda$, donde$W = f(u(t))$ es alguna / alguna función?

es decir, ¿es posible encontrar$f$?

Answer 1

Bueno, no veo cómo usted puede conseguir el $W(t)$ como un compuesto en función de $u(t)$$W(t) = f\left(u(t)\right)$, pero se puede hacer de la siguiente, que puede ser de alguna utilidad:

Asumiendo $y(t)$ es suficientemente suave de la función, tenga en cuenta que $$ u(0) = 0 $$ y $$ u'(t) = y(t)\, . $$ Enchufe la última expresión para $y(t)$ en su integral para $W(t)$: $$ W(t) = \int_0^{\tau} d\tau\, \lambda^{t\tau} u'(\tau) $$ Integrar esta por partes una vez a la producción: \begin{align} W(t) &= {\left.\lambda^{t-\tau} u(\tau)\right|}_{\tau = 0}^{\tau = t} + \ln\lambda\int_0^t d\tau\, \lambda^{t-\tau} u(\tau) \\ &= u(t) + \ln\lambda\int_0^t d\tau\, \lambda^{t-\tau} u(\tau)\, . \end{align} Esto nos da $W(t)$ funcionales como de $u(t)$, pero no como una función. Dudo que dicha función existe para general $y(t)$.