Tratando de encontrar un adjoint izquierdo

Question

Deje $\mathsf{Idem}$ ser la categoría de conjuntos que vienen con un idempotente endomorfismo, es decir, los objetos son pares $(A,e)$ donde $A$ es un conjunto y $e:A \to A$ es un idempotente. Los morfismos $f:(A,e) \to (B,d)$ son morfismos $f: A \to B$ $\mathsf{Set}$ tal que $df = fe$. Deje $U\colon \mathsf{Idem} \to \mathsf{Set}$ ser el olvidadizo functor.

Me gustaría encontrar a la izquierda adjoint $F$ para este functor. He probado el functor $F$ donde $F (A) = (A , 1_A)$ sobre los objetos, y $F( f\colon A \to B ) = f: (A, 1_A) \to (B, 1_B)$, en morfismos, pero no puedo ver el isomorfismo $$\mathsf{Idem} ((A,1_A), (B,e)) \cong \mathsf{Set}(A,B).$$ I initially thought to send a map $f\colon (A,1_A) \a (B,e)$ to $ef\colon A \B$, and a map $g\colon A\B$ to $g\colon (A, 1_A) \a (B, 1_B)$ pero este no parece ser el correcto.

¿Alguien tiene algún consejo sobre cómo encontrar un adjunto a la izquierda? No estoy seguro de cómo irregular. Parece que el functor tiene que incorporar algo de información acerca de todos los idempotents porque necesitamos $$\mathsf{Idem} \left( FA, (B,e) \right) \cong \mathsf{Idem} \left( FA, (B,e') \right) \cong \mathsf{Set}(A,B),$$ si $e, e'$ son dos diferentes idempotents. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Deje$F(A)=A\times\{0,1\}$, con$p:F(A)\to F(A)$ dado por$p((x,t))=(x,0)$ (para cualquier$x\in A$,$t\in\{0,1\}$). Si$B$ es un conjunto con un mapa idempotente$e:B\to B$, entonces cualquier mapa$g:A\to B$ nos da$g':F(A)\to B$, definido por$g'(x,1)=g(x)$,$g'(x,0)=e(g(x))$, lo que hace $F$ restante adjunto a$U$.