Suma de la serie$\frac{x^k}{n-k}$

Question

¿Es posible encontrar la forma cerrada de la siguiente suma:$\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{x^k}{n-k}$?
Si no, ¿entonces tal vez haya al menos una buena aproximación?

Answer 1

Aquí tienes una muy sencilla, pero muy buena aproximación a $\sum\nolimits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{{x^k }}{{n - k}}}$, adecuado para $|x|>1$ $n$ suficientemente grande (que es el caso interesante, en mi opinión). Escribir primero $$ S(n,x) := \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{{x^k }}{{n - k}}} = x^n \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{{u^k }}{k}}, $$ donde $u=1/x$. Si $|x|>1$,$|u|<1$; por lo tanto $\sum\nolimits_{k = 1}^\infty {\frac{{u^k }}{k}} = - \log (1 - u)$. Así, tomando nota de que $ - \log (1 - \frac{1}{x}) = \log (\frac{x}{{x - 1}})$, esto da lugar a la aproximación $$ S(n,x) \aprox x^n \log \bigg(\frac{x}{{x - 1}}\bigg), $$ siempre que $n$ es lo suficientemente grande. Resulta que esta simple aproximación es bastante buena. (Usted puede comprobar por sí mismo.) Consulte la tabla para obtener un ejemplo.

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Redondea los valores de $S(n,x)$ y su aproximación, por $n=10$ y varios valores de $x$.

$$\begin{array}{ccc}x&S(n,x)&x^n \log\left(\frac{x}{x-1}\right)\\-5&-1780484.04&-1780483.95\\-3&-16987.42&-16987.34\\2&709.598&709.783\\ 4&301656.39&301656.52\\6&1.102428722 \times 10^7&1.102428734 \times 10^7\end{array}$$

Answer 2

Tomek:

Aquí hay una sugerencia, tal vez no le da una fórmula tan explícita como le gustaría. Deje$f_n(x)$ la suma que le interese. Luego,$$g_n(x):=x^{-n}f_n(x)=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{x^{k-n}}{n-k}=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{x^{-k}}{k}.$ $ Let$y=1/x$, y$h_n(y):=g_n(1/y)$. Diferenciarse para obtener$$\sum_{k=1}^{n-1}y^{k-1}=\frac{1-y^{n-1}}{1-y}.$$ This gives you a formula for $ h_n (y)$ after integrating (if you try to find it explicitly rather than leaving it in terms of the integral, this formula is a bit messy because it depends on $ n$). From this, you easily get the formula for $ f_n (x) $.