Teoría del número: número impar y potencias de 2

Question

Es es cierto que para cualquier número natural impar $x > 2$, existe un número natural positivo $y$, que $x^y = 2^n+1$ o $x^y=2^n-1$ $n$ Dónde está un también natural $> 0$. Esto no puede resolverse por métodos de la teoría simple del grupo, ya que exigimos que $x^y$ sea exactamente % o $2^n+1$ $2^n-1$y no sólo modulu $2^n$.

Gracias.

Answer 1

Esto es para mostrar sin el catalán conjetura/teorema que $11^y\pm 1$ no puede ser una potencia de $2$. Comenzar con el polinomio $p=x^2-x-1$ cuyo valor en $x=4$ $11.$ tenga en cuenta que los dos últimos términos en la expansión de $p^y$ $yx+1$ si $y$ es aún, y $-yx-1$ si $y$ es impar. Esto significa que si $y$ es incluso, a continuación, $p^y+1$ $2$ mod $4$ [así que no es un poder de $2$] y también que si $y$ es impar, a continuación, $p^y-1$ $2$ mod $4$. Así que podemos suponer que cualquiera de las $y$ es aún y estamos buscando a $p^y-1$ o de lo $y$ es impar y nos fijamos en $p^y+1,$ en ambos casos querer descartar conseguir un poder de $2$.

Ahora si $y$ es incluso, tenemos para $y=2$ que $p^2-1=(x-2)(x-1)x(x+1)$, y ya de más grande, incluso, $y$ tenemos $p^y-1$ divisible por $p^2-1$ tenemos en todos estos casos, los cuatro divisores $2,3,4,5$ (recordar aquí $x=4$), y por lo $p^y-1$ no es una potencia de $2$.

Por otro lado, si $y$ es impar tenemos para $y=1$ que $p^1+1=x(x-1)$, y por más extraño $y$ tenemos $p^y-1$ divisible por $p-1$, por lo que en estos casos $p^y+1$ es divisible por $3,4$, por lo que no puede ser una potencia de $2$.

Así que hay una elemental forma de mostrar que la $11^y\pm 1$ no es una potencia de $2$, sin la necesidad de un profundo teorema como del catalán.

Edit: me di cuenta después de entrar en este tema que puede ser hecho sin el polinomio. Para $y$ a, $11^y+1$ 2 mod 4 (debido a $11$ es impar incluso poderes se $1$ mod 4), Entonces desde $11^2-1$ es divisible por $2,3,5$ tenemos para grandes números enteros que $11^y-1$ es divisible por $11^2-1$, así también por $2,3,5.$ $y$ impar tenemos que $11^y-1$ es 2 mod 4 si $11^1+1$ es divisible por $2,3$ y, a continuación, para mayor $y$ tenemos $11^y+1$ es divisible por $11^1+1$, por lo que también por $2,3.$

Answer 2

<ul> <li><p>es divisible por $11^n -1$ $10$ y por lo tanto nunca una potencia de $2.$</p></li> <li><p>es de $11^n+1$ $2\pmod 8$ si es $n$ y $ 4\pmod 8$ si $n$ es impar. Puesto que no es divisible por $8,$ no es igual a cualquier potencia de $2.$</p></li> </ul>

Answer 3

En la práctica, casi nunca se encuentra una instancia de $p^a$ caída adyacente a una potencia de 2, con la extraña excepción de casos como el de $2^3+1 = 3^2$.

La razón de esto, es que si de alguna extraña $p^a$ es adyacente a una potencia de 2, entonces hay algunos factores primos de a $p$ que podría dividir a sus propios períodos. Un conocido ejemplo de esto es$1093$$3511$, pero no simple de los poderes de estos que se encuentran cerca de los poderes de estos números.

Para $x^o \pm 1$ donde $o$ es impar, uno puede escribir esto como $(x \pm 1) \sum_{n=0}^{o-1} (\pm x)^a$. El sumation da siempre un número impar, por lo que podríamos señalar que si $x^n$ es adyacente a una potencia de 2, entonces n es en sí misma una potencia de 2.

Para $x^2+1$, fácilmente se puede demostrar que deja un resto de 2 cuando se divide por cuatro, lo que significa que el saldo de la cantidad es de un gran número impar.

Para $x^2-1$, podríamos señalar que este es $(x-1)(x+1)$, que tiene una diferencia de $2$. Esto significa que la única solución para las potencias de $2$ que se diferencian por 2 es 2 y 4.

Esto significa que la única adyacentes a una potencia de 2, debe ser de la forma de $x\pm 1$, que no es un poder de $x$.