¿Mapa continuo desde dos intervalos hasta la curva sinusoidal del topólogo cerrado?

Question

El cerrado topologist de la curva sinusoidal es el conjunto

$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x=0, -1\le y\le 1\}\cup\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y=\sin\frac{1}{x}, 0<x\le \pi\}.$

Claramente no es posible de forma continua mapa de la unidad cerrada intervalo en este conjunto, ya que de no ser ruta de acceso conectado. Pero, ¿qué acerca de la inconexión de la unión de dos intervalos?

Yo diría que no, espero que el topologist la curva de seno es el más maleducado, pero no puedo ver cómo mostrar que no es posible. Es la imagen continua de un local (ruta de acceso) conectado espacio, necesariamente localmente (ruta de acceso) conectado en algunas suposiciones razonables?

Answer 1

Tal vez este es el más general de la visión que usted estaba buscando. Si $X$ es un espacio con un número finito de ruta-componentes donde cada ruta-componente es compacto, y $f$ es un mapa continuo, entonces la ruta de los componentes de $f(X)$ son compactos.

Para ver que esto es cierto, se nota que la imagen continua de una trayectoria-conectado conjunto es también la ruta de acceso conectado. Esto significa que cualquier camino-componente de $f(X)$ debe ser una unión de imágenes de la ruta de los componentes de $X$. Desde imágenes continuas de compacto conjuntos son compactos, y finito sindicatos de compacto conjuntos son compactos, de ello se sigue que $f(X)$ sólo puede tener compacto ruta de los componentes.

El resultado que quería, ahora sigue por el hecho de que el cerrado topologist de la curva sinusoidal tiene un no-compacto ruta-componente.

Su conjetura acerca de la preservación de los locales (ruta)conexión falla muy fácilmente. Un infinito espacio discreto es localmente trayectoria-conectado y mapas de forma continua en su punto compactification, que no está conectado localmente en el agregado punto.