¿Cómo calcular el momento central del th del #% de la %#% de distribución binomial?

Question

Sólo lo había derivado utilizando la función de la generación primera obtener crudos momentos. El resultado es

$(-1+3np^2-6p^2-3np+6p)n(p-1)p$.

Fue simplemente brutal fuerza cálculo, nada interesante. Así que me preguntaba, si hay alguno sabe trucos que podrían simplificar un poco el proceso.

Answer 1

Deje $X$ ser binomial con $n$ ensayos y la probabilidad de éxito $p$. Supongo que por cuarto momento central quieres decir $E[(X - np)^4]$. Escribir $X = \sum_{i = 1} ^ n X_i$ cuando la $X_i$ son iid de Bernoulli con probabilidad de éxito $p$. A continuación, queremos $$E\left[\left(\sum_{i = 1} ^ n (X_i - p)\right)^4 \right] = E\left[\sum_{1 \le i, j, k, l \le n} (X_i - p)(X_j - p)(X_k - p)(X_l - p) \right] = \sum_{1 \le i, j, k, l \le n}E[(X_i - p)(X_j - p)(X_k - p)(X_l - p)]$$ which effectively turns this into a counting problem. The terms in the sum on the right hand side are $0$ unless either $i = j = k = l$, which happens $n$ times, or when there are two pairs of matching indicies, which happens $\binom n 2 \binom 4 2 = 3n(n - 1)$ times. This gives us $$E[(X - np)^4] = n\mu_4 + 3n(n - 1)\sigma^4 \tag{$\daga$}$$ as the fourth central moment, when $\sigma^2 = p(1 - p)$ is the variance $X_1$ and $\mu_4 = p(1 - p)^4 + b^4 (1 - p)$ is the fourth central moment of $X_1$. Note that in deriving ($\daga$) nosotros en realidad se deriva de una fórmula general para el cuarto momento central de una suma de variables aleatorias iid.

Answer 2

Una alternativa sería utilizar cumulants. El momento cuarto central de una variable aleatoria $X$ puede expresarse en términos de cumulants como sigue: $$\mu_4(X)=\kappa_4(X)+3\kappa^2_2(X).$ $

Ahora, cumulants añadir sobre variables aleatorias independientes y el segundo cumulant es sólo la varianza, es decir, $\kappa_2=\mu_2$.

Escribe $Y=\sum_{i=1}^n Z_i$, donde $Z_i\,$s son i.i.d. variables de al azar, tenemos

\begin{eqnarray} \mu_4(Y)&=&\kappa_4(Y)+3\kappa^2_2(Y)\ &=&n\kappa_4(Z)+3[n\kappa_2(Z)]^2\ &=&n\left[\mu_4(Z)-3\kappa_2^2(Z)\right]+3[n\kappa_2(Z)]^2\ &=&n\, \mu_4(Z) +3n(n-1)\,\mu_2^2(Z). \end{eqnarray }

Answer 3

Si usted decide seguir la estrategia de Dilips: $k\geq 0$, definir $$mk=E!\left[{X\choose k}\right]=\sum{x\geq 0} {x\choose k} {n\choose x} p^x (1-p)^{n-x}.$ $

Tal vez no sepamos cuáles son estos números, pero sabemos\begin{eqnarray} \sum_{k\geq0} mk y^k &=& \sum{k\geq0} \sum{x\geq 0} {x\choose k} {n\choose x} p^x (1-p)^{n-x} y^k \[5pt] & =& \sum{x\geq 0} (1+y)^x {n\choose x} p^x (1-p)^{n-x}\[5pt] &=& (py+1)^n. \end{eqnarray }

Extraer el coeficiente de $y^k$ en ambos lados da %#% $ #%