Ejemplos de mapas no completamente acotados

Question

Deje $\phi:\mathcal{A}\longrightarrow\mathcal{B}$ ser un almacén de mapa entre el $C^*$ álgebras. $\phi$ dijo estar totalmente acotado si la extensión natural mapa \begin{eqnarray} \phi_n:M_n(\mathcal{A})&\longrightarrow & M_n(\mathcal{B})\\ ((a_{i,j}))&\longmapsto & ((\phi(a_{ij})) \end{eqnarray} es también limitada para todos $n$. ($M_n(\mathcal{A})$ denota $n\times n$ matrices cuyas entradas son los elementos de $\mathcal{A}$.) Esta obligado define una norma así lo que se conoce como completamente acotada norma en el conjunto de mapas.

El ejemplo estándar de un 'no' completamente delimitado, acotado mapa es transponer. Yo no podía construir cualquier otro ejemplo que no implica la transposición. Lamentablemente no pude localizar a cualquier otro ejemplo de la literatura. Por favor, ayudar.

Answer 1

Deje $H$ ser un espacio de Hilbert. Voy a utilizar los siguientes notaciones para las cuantizaciones

• $MAX(H)$ - máximo de cuantización de $H$.
• $MIN(H)$ - mínimo de cuantización de $H$.
• $C(H)$ - columna de cuantización de $H$.
• $R(H)$ fila cuantización de la $H$.
• $OH(H)$ - operador quatization de $H$.

y espacios de operadores

• $B(H)$ - limita los operadores en $H$.
• $S_p(H)$ - Schatten $p$-operadores de clase en $H$.
• $CB(X,Y)$ - completamente delimitada operadores entre espacios de operadores $X$$Y$.

Entonces se tiene la siguiente tabla de espacios de completamente delimitada entre los diferentes operadores de las cuantizaciones de $H$ hasta isométrica ($\simeq_1$) o regular ($\simeq$) isomorfismo: $$ \begin{array}{cccccc} CB(\downarrow,\rightarrow) & MIN(H) & C(H) & OH(H) & R(H) & MAX(H)\\ MIN(H) & \simeq_1 B(H) & \simeq_1 S_2(H) & \simeq S_2(H) & \simeq_1 S_2(H) & \simeq S_1(H)\\ C(H) & \simeq_1 B(H) & \simeq_1 B(H) & \simeq_1 S_4(H) & \simeq_1 S_2(H) & \simeq_1 S_2(H)\\ OH(H) & \simeq_1 B(H) & \simeq_1 S_4(H) & \simeq_1 B(H) & \simeq_1 S_4(H) & \simeq S_2(H)\\ R(H) & \simeq_1 B(H) & \simeq_1 S_2(H) & \simeq_1 S_4(H) & \simeq_1 B(H) & \simeq_1 S_2(H)\\ MAX(H) & \simeq_1 B(H) & \simeq_1 B(H) & \simeq_1 B(H) & \simeq_1 B(H) & \simeq_1 B(H)\\ \end{array} $$ Esta caracterización fue tomada de esta página.

A partir de esta tabla podemos ver que para $13$ $25$ de los casos los espacios de completery delimitada operadores son propias de los subespacios de $B(H)$. Así pues, tenemos un buen montón de no-completamente delimitada operadores.