Descubriendo la coeffcient junto a $x^2$ $(\cdots(x-2)^2-2)^2\cdots-2)^2$.

Question

En la necesidad de averiguar el coeficiente junto a$x^2$ en polinomio$(\cdots(x-2)^2-2)^2\cdots-2)^2$, donde anidamos la expresión$(x-2)^2$ n veces.

Lo que significa que para$n=1$ obtenemos$(x-2)^2$, para$n=2$ obtenemos$((x-2)^2-2)^2=(x^2-4x+2)^2$

Lo cual ni siquiera trataré de ampliar, ya que ya veo que no se aplica ninguna recurrencia trivial ...

Answer 1

Vamos a encontrar la recurrance para el orden bajo los términos de $$f_n(x)=(\cdots(x-2)^2-2)^2\cdots -2)^2 =a_n+b_nx+c_bx^2+x^3(\ldots)$$ donde$f_1(x)=(x-2)^2=x^2-4x+4$$f_{n+1}(x)=(f_n(x)-2)^2$. Nos encontramos $$\begin{align}f_{n+1}(x)&=(a_n-2+b_nx+c_nx^2+x^3(\ldots))^2\\ &=(a_n-2)^2+2(a_n-2)b_nx+(b_n^2+2(a_n-2)c_n)x^2+x^3\cdot(\ldots) \end{align}$$ Tenga en cuenta que el valor inicial $a_1=4$ y la recursividad $a_{n+1}=(a_n-2)^2$ conducir a $a_n=4$ todos los $n$. Así, por $b_n$ tenemos la recursividad $b_{n+1}=4b_n$ y forom el valor inicial de ver (y probar por inducción) $b_n=-4^n$. Así, por $c_n$ tenemos el valor inicial $c_1=1$ $$c_{n+1}=16^n+4c_n $$ Jugando con el primer par de valores de un llamativo patrón emerge en su representación binaria. A partir de ese patrón supongo $$c_n= \frac{4^n-1}{3}\cdot 4^{n-1}$$ y comprobar mediante la inducción de que esta suposición es correcta.

Answer 2

Después de $n$ composiciones, el término constante es (claramente?) $4$.

El lineal coeficiente de es$-4$$n=1$, y el lineal coeficiente después de $n$ composiciones ( $a_n$ ) satisface la recurrencia $$a_n=2a_{n-1}(4)$$ so $a_n=-4\cdot8^{n-1}$ where the $4$ es el término constante formulario de la anterior composición.

El coeficiente cuadrático es $1$ $n=1$ y el coeficiente cuadrático después de $n$ composiciones ( $b_n$ ) satisface la recurrencia $$b_n=a_{n-1}^2+2b_{n-1}(4)$$ which means $$b_n=2^{6n-8}+8b_{n-1}$$ If we introduce $c_n$ defined by $b_n=2^{6n-8}c_n$, tenemos $$2^{6n-8}c_n=2^{6n-8}+8\cdot2^{6n-14}c_{n-1}$$ $$c_n=1+\frac18c_{n-1}$$

Ahora $c_n$ tiene un lineales no homogéneas de recurrencia.