¿Homeomorfismo vía funcional de Minkowski?

Question

Supongamos que $E$ es un espacio del vector topológico dimensional infinito y $\Omega\subset E$ está abierto, convexo y $0\in \Omega$. Minkowski-funcionales de las $\Omega$ se definición por: $$ p\Omega:E\to \mathbb{R},\quad p\Omega (v): = \inf\ {\lambda > 0\, | \, v\in \lambda \Omega}. $$ me gustaría mostrar que $\Omega$ es homeomorfa a $E$.
Pregunta: ¿Es el mapa de $$ \varphi:\Omega\to E, \quad \varphi(x): = \frac{x}{1-p_\Omega(x)} $$ un Homeomorfismo de $\Omega$ $E$?

Answer 1

Sí. Puesto que es homogénea de grado $p\Omega$ $1$, tenemos $$p\Omega(\varphi(x))= \frac{p{\Omega}(x)}{1-p\Omega(x)} \tag1$% $ de y=\varphi(x) de $ Let $. Reorganizar (1) en $$p\Omega(x) = \frac{p{\Omega}(y)}{1+p\Omega(y)} \tag2$ $ y concluir que $$\varphi^{-1}(y) = \frac{y}{1+p\Omega(y)}\tag2$ $ sigue siendo mostrar que $p\Omega$ es una función continua en $E$. Con este fin, observar que para cualquier número positivo $t$ % de los sistemas ${x:p\Omega(x)<t>t}=E\setminus \overline{t\Omega}$ están abiertos.</t>