Hace poco estaba pensando qué información obtenemos de una matriz. Así si decimos que las columnas (o filas) de una matriz de definen la base de un sistema, decir vectores de 3 dimensiones espaciales. Entonces el determinante le dirá sobre el volumen del espacio encerrado por esos vectores. ¿Rastro da cualquier información sobre el espacio?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Stefano
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I) de manera Más general,
Deje $V$ ser (es decir, finito dimensionales) espacio vectorial sobre un campo de $\mathbb{F}$.
Deje $(e_i)_{i\in I}$ ser una base para $V$.
Deje $A\in {\rm End}(V)$ ser un endomorfismo en $V$, es decir, un $\mathbb{F}$-lineal mapa de $A:V\to V$.
Deje que la matriz $(M^i{}_j)_{i,j\in I}$ ser el único $\mathbb{F}$valores de la matriz que representa el lineal mapa de $A$ en base a la $(e_i)_{i\in I}$, lo que significa que $$\forall j\in I:~~ Ae_j ~=~ \sum_{i\in I} e_iM^i{}_j .$$
Entonces la traza ${\rm tr(A)}$ de la lineal mapa de $A$, que se define como $${\rm tr(A)}~:=~\sum_{i\in I}M^i{}_i,$$ hace no depender de la elección de la base de $(e_i)_{i\in I}$. Por esta razón es importante invariante.
II) Otro invariante es el determinante $\det (A)$ $A$ . La interpretación física de la determinante es la (firmado) cociente (a menudo llamado el Jacobiano $J$) entre la (firmado) el volumen de una región en $V$ antes y después de aplicar el mapa de $A$.
III) UNA interpretación física de la traza puede ser proporcionada a través de i) la interpretación física de la determinante, y ii) la fórmula
$$\det (e^A) ~=~e^{\rm tr(A)}. $$
Por lo tanto, para un infinitesimal mapa de $A$, $$\det ({\bf 1}+A)~\approx~1+ {\rm tr(A)}.$$ Así a grandes rasgos, en una interpretación, el seguimiento proporciona información acerca de los infinitesimales cambio en el factor de volumen.
