Actualmente estoy tomando una Métrica Espacios curso, y durante una actividad, tuve que probar el siguiente resultado:
Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico compacto y $A,B \subset X$ dos subconjuntos cerrados tales que $d(A,B)=0$. A continuación,$A \cap B \neq \emptyset$.
Mi razonamiento fue el siguiente. Utilizando el hecho de que $d(A,B) = 0$, para cada $n \in \mathbb{N}$, podemos obtener $a_n \in A$ $b_n \in B$ tal que $d(a_n,b_n) < \frac1n$. Esto nos da dos secuencias de $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset A$ $(b_m)_{m \in \mathbb{N}}\subset B$ con la propiedad de que para cada $\epsilon>0$, no es un número natural $n_0$ tal que $d(a_n,b_n) < \epsilon$ por cada $n \geq n_0$.
A partir de la compacidad de $X$ obtenemos un subsequence $(a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}$ $(a_n)$ que converge a algún punto de $a \in X$. Sabemos que en el hecho de $a \in A$ porque $A$ es cerrado. Ahora el reclamo es que el $a \in A \cap B$. Para mostrar esto, es suficiente para mostrar que $a \in \overline{B}$.
Para cualquier número real $r>0$ sabemos que existe una $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $d(a_n,b_n)< \frac r2$ por cada $n \geq n_0$, y a partir de la convergencia de la subsquence $(a_{n_k})$, existe y $n_{k_0} \in \mathbb{N}$ tal que $d(a,a_{n_k}) < \frac r2$ por cada $n_k \geq n_{k_0}$. Luego, tomando cualquier $n_k \geq \max\{n_0,n_{k_0}\}$ hemos
$$d(a,b_{n_k}) \leq d(a,a_{n_k})+d(a_{n_k},b_{n_k}) < \frac r2 + \frac r2 = r,$$
de modo que $b_{n_k}$ se encuentra en la bola abierta de radio $r$ centrada en $a$, mostrando así que los $a \in \overline{B}$.
Mientras yo estaba hablando de mi intento de la prueba con la persona que fue la aplicación de la actividad, afirmó que no era correcto porque tenía que ser más cuidadoso al utilizar los índices de la subsequence $(a_{n_k})$ a identificar los términos específicos de la secuencia de $(b_n)$ como hice en la última desigualdad anterior. Sostuvo que se debería considerar en primer lugar la secuencia de $(b_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}$ con los mismos índices de la subsequence $(a_{n_k})$, obtener un convergentes larga de $(b_{n_k})$ y, a continuación, utilizar este nuevo larga durante la prueba. Yo realmente no entiendo por qué esto sería necesario o ¿cuál es el problema con el argumento anterior.
Así que me gustaría un poco de ayuda para saber si lo que hice es correcto, o para entender dónde está el problema si la prueba pasa a estar mal. Gracias de antemano!
