Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Todo el punto a utilizando la mgf para calcular momentos es que por lo general no tiene que calcular los derivados. Además, el ejercicio de la expansión de una mgf generalmente es puramente mecánica, sin necesidad de adivinar o de conocimiento. Los cálculos siguientes con el fin de ejemplificar un enfoque básico que funciona en muchos casos:
Romper la mgf en los factores que pueden ampliarse fácilmente en el poder de la serie (por ejemplo, que coincide con el mgfs de conocidos distribuciones cuyo poder de la serie puede ser buscado);
Multiplicar la potencia correspondiente de la serie.
Escoger el coeficiente de la $r^\text{th}$ potencia y multiplica por $r! = r(r-1)\cdots(2)(1)$: $r^\text{th}$ momento.
La forma de este particular mgf nos invita a mirar como el producto de dos piezas: $9e^{-t}$ veces $(3+2t)^{-2}$. Ambos de estos son simples y familiares de MacLaurin expansiones (que es, en series de Taylor alrededor de $0$):
$$\eqalign{ 9 e^{-t} &= 9\left(1 + \frac{-t}{1} + \frac{(-t)^2}{2} + \cdots + \frac{(-t)^n}{n!} + \cdots\right);\\ (3 + 2t)^{-2} &= 3^{-2}\izquierda(1 + \frac{2}{3}t\right)^{-2} \\ &= 3^{-2}\izquierda( 1 - 2\left(\frac{2}{3}t\right) + 3\left(\frac{2}{3}t\right)^2 + \cdots + \binom{-2}{k}\left(\frac{2}{3}t\right)^k + \cdots\right).}$$
Esto es una consecuencia del Teorema del Binomio de Newton; los coeficientes binomiales se calcula como
$$\binom{-2}{k} = \frac{(-2)(-3)\cdots(-2-k+1)}{k!} = (-1)^k (k+1).$$
Sin embargo, voy a retener el $\binom{-2}{k}$ notación para dejar claro en el final, donde cada término vino de.
La primera de la serie converge en todas partes, mientras que el segundo tiene un radio de convergencia de $1$ (que también es afirmado por el Teorema del Binomio). Por lo tanto, para todos los $|t|\lt 1$ las manipulaciones posteriores implicará absolutamente convergente de alimentación de la serie (que por lo tanto representan funciones reales y no sólo formal de alimentación de la serie).
Después de observar que el $9\times 3^{-2}=1$ no tiene ningún efecto sobre el producto, nos puede escribir a la mgf en una notación más compacta
$$M_X(t) = \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-t)^n}{n!}\right) \left(\sum_{k=0}^\infty \binom{-2}{k} \left(\frac{2}{3}t\right)^k\right).$$
La expansión de este producto y la recopilación de los términos en el aumento de los poderes de $t$ da una agradable expresión, que es fácil y automáticamente calcula llamando a la alimentación de $r$ (por ejemplo), dejando $k$ avance de $0$ a través de $r$, establecimiento $n=r-k$, y la multiplicación de un típico plazo de una suma por una típica plazo de la otra:
$$M_X(t) = \sum_{r=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^r \frac{(-1)^{r-k}}{(r-k)!}\binom{-2}{k} \left(\frac{2}{3}\right)^k\right)t^r.$$
Multiplicando el coeficiente de $t^r$ $r!$ da el asociado momento:
$$\mathbb{E}(X^r) = (-1)^r r!\sum_{k=0}^r \frac{(-1)^{k}}{(r-k)!}\binom{-2}{k} \left(\frac{2}{3}\right)^k = (-1)^r r!\sum_{k=0}^r \frac{k+1}{(r-k)!} \left(\frac{2}{3}\right)^k.$$
Me han incluido los términos en los que, dependiendo únicamente de la $r$ y ampliado los coeficientes binomiales $\binom{-2}{k}$, pero eso es tanto como uno puede llegar razonablemente: "cerrado" fórmula se expresa en términos de hipergeométrica generalizada funciones, que (a pesar de su utilidad para el análisis) es, para el propósito de calcular estos momentos, sólo una forma elegante de disfrazar de este balance.
Este es un típico ejercicio de cálculo donde usted necesita para determinar el $r$-th derivarive de una función, en este caso $M_X(t)$. Así que usted puede seguir los pasos habituales:
1) Derivar hasta un poco de orden (digamos hasta el tercer derivados) y averiguar el patrón de los derivados.
2) la Conjetura de una forma general para el $r$-ésima derivada, vamos a decir $f(r)$, que es satisfecho, de hecho, para $r=1,2,3$.
3) Derivar la expresión anterior (por lo que tendrá la $r+1$-ésima derivada bajo su conjetura) y comprobar si coincide con la anterior fórmula de toma de $r+1$ en lugar de $r$ (esto es, $f(r+1)$). Si sí, entonces usted tiene la expresión para el $r$-ésima derivada.
Después de que usted tiene la expresión para $M_X^{(r)}(t)$ sólo evaluar en $t=0$ para obtener las expresiones para los momentos de $\mathbb{E}_X[X^r]$. Usted puede empezar a pensar con la primera de dos de los derivados de $M_X(t)$:
\begin{align} M_X'(t)&=-\frac{36 e^{-t}}{(2 t+3)^3}-\frac{9 e^{-t}}{(2 t+3)^2},\\ M_X''(t)&=\frac{72 e^{-t}}{(2 t+3)^3}+\frac{216 e^{-t}}{(2 t+3)^4}+\frac{9 e^{-t}}{(2 t+3)^2}. \end{align}
EDIT: Esta fue la respuesta fue la intención de proporcionar los principales lineamientos para el ejercicio... pero de todos modos, ya que no parecía ser lo suficientemente claro, aquí están las expresiones de la $r$-th derivados de $M_X$.
Primero de todo, para hacer los cálculos más fáciles de recordar la siguiente expresión para la $r$-ésima derivada de la función $g(t)=e^{-t}h(t)$, la cual puede ser demostrado mediante los pasos 1)a 3): \begin{align} g^{(r)}(t)=(-1)^re^{-t}\sum_{j=0}^r\binom{r}{j}(-1)^jh^{(j)}(t). \end{align} En nuestro caso, $h(t)=9(3+2t)^{-2}$ e las $j$-th derivados de $h$ seguir fácilmente, resultando \begin{align} h^{(j)}(t)=(-2)^j(j+1)!(2t+3)^{-(2+j)}. \end{align} La combinación de estas dos expresiones, tenemos: $$ M^{(r)}_X(t)=9(-1)^re^{-t}\sum_{j=0}^r\binom{r}{j}2^j(j+1)!(2t+3)^{-(2+j)} $$ y lo bueno es que al $t=0$ hemos $$ \mathbb{E}_X[X^r]=M^{(r)}_X(0)=(-1)^r\sum_{j=0}^r\binom{r}{j}(j+1)!\left(\frac{2}{3}\right)^{j}, $$ que es exactamente el resultado final que @chico ha mencionado en los comentarios.
