¿Lo que ' s $\lim_{m\to\infty}\prod_{k=1}^m (1-e^{-kn})$?

Question

Intento mostrar $\lim{n\to\infty}\lim{m\to\infty}\prod{k=1}^m (1-e^{-kn})=1$. Parece que necesitamos dar un límite inferior de $\lim{m\to\infty}\prod{k=1}^m (1-e^{-kn})$ dependiendo del $n$ y $n$ tiende a infinito este límite tiende a 1. Estoy tratando de calcular $\log(\prod{i=1}^m (1-e^{-in}))$ y ver si se cierra a 0 con el hecho de que $\log(1-x)\approx -x$ $x\to 0$. Pero no estoy seguro de cómo controlar el error.

Answer 1

Como han mencionado, es fácil ver que el límite es menor que $1$ (como cada factor en el producto es menor que 1).

Tomando el logaritmo es también una buena idea. Tenemos $ $$\log\left(\prod{k=1}^m (1-e^{-k n})\right) =\sum{k=1}^m \log(1-e^{-k n}) \geq \int_0^\infty !dx\,\log(1-e^{-x n})= -\frac{\pi^2}{6n} . $ $\log(1-e^{-k n})aquí. Sigue %#% $ #%

Answer 2

ps