Debe proceder a la definición $a^{x} = \lim_{n \to \infty}a^{x_{n}}$ donde $x_{n}$ es una secuencia de racionales que tiende a $x$ y $a > 0$ . Esta ruta es un poco difícil comparada con la ruta estándar de usar logaritmos vía integral. Pero proporcionar una justificación rigurosa de todas las propiedades habituales de los exponentes utilizando la definición anterior resulta ser un buen ejercicio de análisis real.
Lo primero que hay que hacer es demostrar que el límite $\lim_{n \to \infty}a^{x_{n}}$ existe y la definición no es ambigua, es decir, si $x_{n}, y_{n}$ son secuencias de racionales que tienden a $x$ entonces $\lim_{n \to \infty}a^{x_{n}} = \lim_{n \to \infty}a^{y_{n}}$ . Las propiedades algebraicas como $a^{x + y} = a^{x}a^{y}$ no suponen un gran reto.
Sobre sus desigualdades digamos que tenemos $a > b > 0$ y $x_{n}$ es una secuencia de racionales que tiende a $x$ . Tenemos que mostrar $a^{x} > b^{x}$ . Claramente por las reglas de los exponentes racionales tenemos $a^{x_{n}} > b^{x_{n}}$ pero tomando los límites como $n \to \infty$ debilita la desigualdad a $\geq $ . Así que lo que necesitamos son las siguientes desigualdades $$ra^{r - 1}(a - b) > a^{r} - b^{r} > rb^{r - 1}(a - b)$$ y $$sa^{s - 1}(a - b) < a^{s} - b^{s} < sb^{s - 1}(a - b)$$ donde $r, s$ son racionales con $0 < s < 1 < r$ . Estos se establecen en esta respuesta .
Dejemos que $x > 1$ entonces podemos suponer que después de un cierto valor de $n$ , $x_{n} > 1$ . Claramente entonces tenemos $$a^{x_{n}} - b^{x_{n}} > x_{n}b^{x_{n} - 1}(a - b)$$ Tomando los límites como $n \to \infty$ obtenemos $$a^{x} - b^{x} \geq xb^{x - 1}(a - b) > 0$$ para que $a^{x} > b^{x}$ . Del mismo modo, podemos utilizar otra desigualdad (que trata de $s$ ) para manejar el caso cuando $0 < x < 1$ . Para los valores negativos de $x$ la desigualdad se invierte, es decir $a^{x} < b^{x}$ . Esto se puede hacer fácilmente a través de la regla que $a^{-x} = 1/a^{x}$ .
