¿Qué es un Dominio Integral?

Question

Vale, así que casi 3 meses en mi álgebra abstracta, acabamos de empezar con los anillos. Tengo algunas preguntas.

Un "anillo trivial" es un anillo con un solo elemento. Así que $R={0}$ es un anillo trivial. Comprensible.

Entonces una definición establece: Que $R$ ser un anillo. Si hay un elemento $x \in R$ s.t. para todos $a \in R$ tienes $a * x = a = x * a$ entonces R se llama "anillo con identidad". La notación es $1_{R}$ . También sé que es posible tener una identidad derecha y no una izquierda (en el caso de una matriz de 2 x 2).

Entonces tenemos una definición de un dominio integral. Un dominio integral es un anillo conmutativo $R$ con identidad $1_{R} \neq 0_{R}$ . Bien, aquí es donde estoy confundido ahora. ¿Qué significa esto?

¿Está diciendo que el elemento de identidad no puede ser el elemento cero? ¿Y el elemento de identidad podría ser cualquier cosa, verdad? Para los números enteros es 1. Así que básicamente dice que si tienes un TRIVIAL RING y si el elemento (ya que sólo puede haber uno) no es el elemento cero entonces es una ID?

Answer 1

Un dominio integral es un anillo sin divisores cero, es decir $\rm\ xy = 0\ \Rightarrow\ x=0\ \ or\ \ y=0\:.\:$ Además, se trata de una convención para desestimar como dominio el anillo trivial de un elemento (o, equivalentemente, el anillo con $\: 1 = 0\:$ ). La inexistencia de divisores de cero es la hipótesis importante de la definición. La exclusión del anillo trivial es simplemente una convención que resulta conveniente en muchos contextos (véase mi publicar aquí para ver algunas razones por las que la convención resulta conveniente).

Se puede pensar en un dominio como un análogo teórico de un campo, ya que un anillo es un dominio si es un subringa de algún campo. De hecho, un campo no tiene divisores de cero, así que lo mismo ocurre con todos sus subarreglos. A la inversa, cualquier dominio puede ampliarse a su campo de fracciones adjuntando un inverso para cada elemento no nulo. Aunque los dominios no necesitan contener inversos para cada $\rm\ c\ne 0\:,\:$ conservan un rastro de esta propiedad. En concreto, los elementos no nulos $\rm\:c\:$ son cancelables: $\rm\ c\ x = c\ y\ \Rightarrow\ x = y\:.\ $ Esto permite transferir muchas (pero no todas) las propiedades de los campos a los dominios. He aquí un ejemplo útil: $\ $ un polinomio $\rm\ f(x)\in D[x]\ $ tiene como máximo $\rm\ deg\ f\ $ raíces en el anillo $\rm\:D\ $ si $\rm\ D\:$ es un dominio. Para la prueba sencilla, véase mi publicar aquí donde lo ilustro constructivamente en $\rm\ \mathbb Z/m\ $ demostrando que, dado cualquier $\rm\:f(x)\:$ con más raíces que su grado, podemos calcular rápidamente un factor no trivial de $\rm\:m\:$ a través de un $\rm\:gcd\:$ . El caso cuadrático de este resultado está en el corazón de muchos algoritmos de factorización de enteros, que intentan factorizar $\rm\:m\:$ buscando una raíz cuadrada no trivial en $\rm\: \mathbb Z/m\:,\:$ por ejemplo, una raíz cuadrada de $1$ que no es $\:\pm 1$ .

Answer 2

Sólo hay un anillo trivial hasta el isomorfismo. Tiene un elemento $x$ que satisface $x + x = x \cdot x = x$ . Esto significa que $x$ es tanto la identidad aditiva como la identidad multiplicativa; simbólicamente, $x = 1_R = 0_R$ . Esto también es un "si y sólo si": si un anillo $R$ tiene la propiedad de que $1_R = 0_R$ entonces cada elemento es igual a $0_R$ ya que $x \cdot 1_R = x = x \cdot 0_R = 0_R$ . Por lo tanto, un anillo es el anillo trivial si y sólo si $1_R = 0_R$ .

En la definición de un dominio integral, requerimos que el anillo sea no trivial. Hay varias buenas razones para ello, pero son algo difíciles de motivar a nivel de un primer curso de álgebra abstracta. (Pero como señala Joe Johnson, ésta no es la parte principal de la definición de un dominio integral).

Answer 3

Un dominio integral es un anillo conmutativo con unidad $1\neq 0$ de manera que si $ab=0$ entonces $a=0$ o $b=0$ . La idea de que $1\neq 0$ significa que la unidad multiplicativa, el elemento $x$ tal que $xa=a$ para todos $a\in R$ no es el mismo elemento que la unidad aditiva, el elemento $y$ tal que $a+y=a$ para todos $a\in R$ . Denotamos la unidad multiplicativa por 1 y la unidad aditiva por 0, ya que son similares a lo mismo en $\mathbb{Z}$ . La segunda parte dice que si $a,b\neq 0$ entonces $ab\neq 0$ . Por ejemplo $\mathbb{Z}/6$ tiene dos elementos $[2]$ y $[3]$ tal que $[2]\cdot [3]=[0]$ . Por lo tanto, no es un dominio integral.

Answer 4

Algunos ejemplos podrían estar en su lugar:

DOMINIOS INTEGRALES: $\mathbb{Z},\mathbb{Z}/(p) \mathbb{Q}, \mathbb{R}, k[x], \mathbb{Z}[x], \mathbb{Z}[x_1,x_2,\ldots]$ (donde este último denota un anillo polinómico con un número contable de indeterminados.

DOMINIOS NO INTEGRALES: (es decir, todo anillo en el que se puede multiplicar un número distinto de cero para obtener el cero)

$\mathbb{Z}/(6), k[x]/(x^2)$ ( $x \times x = x^2=0$ y $x \neq 0$ )