Encuentra la segunda derivada de alguna función implícita?

Question

Tengo una función dada implícitamente, ya sabes. X e Y en ambos lados. Entonces dice, supongamos y = y (x). Esta bien. Debería poder encontrar y '(0), pero ¿y sobre y' '(0)? ¿Cómo se tratan las partes dy / dx al tomar la segunda derivada?

Editar: También me gustaría seguir el consejo en el libro, que dice cuando estoy detrás de los valores reales. Podemos simplemente insertar el valor en lugar de resolver para dy / dx.

Answer 1

Sólo tiene que sustituir todos los $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ términos en su segunda derivada con la expresión que tienes para la $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ a través de la diferenciación implícita.

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Como un ejemplo claro, supongamos que queremos encontrar $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}$ para la expresión $x^2+y^2-r=0$ ($r$ aquí es una constante). Nos encontramos

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}$$

y la diferenciación de nuevo da

$$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}=-\frac{1+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2}{y}$$

Si sustituimos la expresión que obtuvimos para la primera derivada en la segunda derivada, obtenemos

$$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}=-\frac{1+\left(-\frac{x}{y}\right)^2}{y}$$

lo que da

$$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}=-\frac{x^2+y^2}{y^3}$$

Answer 2

Si puede usar derivados parciales, puede hacer lo siguiente:

Primero, encuentra$dy/dx$, dice$$\frac{dy}{dx}=g(x,y).$ $ Luego, por regla de cadena$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}\frac{dy}{dx}=\frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}g(x,y).$ $