Cómo probar$\lim_{n\rightarrow \infty} {a^n \over n!}=0$

Question

<blockquote> <p><strong>Posible duplicado:</strong><br> <a href="http://math.stackexchange.com/questions/80453/how-to-prove-that-lim-limits-n-to-infty-fracknn-0">Cómo probar que $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{k^n}{n!} = 0$</a> </p> </blockquote> <p>Como los temas, cómo probar $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \dfrac{a^n}{n!}=0$</p> <p>$\forall a \in \mathbb{R^+}$</p>

Answer 1

No sé si está permitido usar este pero se podría argumentar como sigue:

$$ \lim{N \to \infty} \sum{n=0}^N \frac{a^n}{n!} = e^a

por lo tanto, $\frac{a^n}{n!} \to 0$.

Answer 2

Si $n>2|a|$, entonces cada vez se incrementa $n$ $1$, está haciendo que el valor de la fracción menos de la mitad lo que era. Si se corta algo hasta menos de la mitad de su tamaño anterior en cada paso, su tamaño aproxima $0$.

Answer 3

Sugerencia: % grande $n$, use aproximación de stirling para el factorial.

Answer 4

Sugerencia: Usted puede demostrar que: $cn = \frac{a^n}{n!}$ y cálculo: $\frac{c{n-1}}{c_n} = \frac{n}{a} \rightarrow \infty$ y concluir.

Answer 5

$n! > (n/2)^{n/2}$ $ que a ^ n/n! 4a^2$.