Cuántas veces debe $n$ un juego en el que tienes la oportunidad de $1/N$ de ganar para tener un mejor que el 50% de probabilidades de ganar al menos una vez

Question

Estoy teniendo dificultades para acercarse al problema anterior, y quisiera una sugerencia. Me canse de hacer una inclusión exclusión argumento: Vamos a $A_{i}$ ganar el juego en la i-esima tratar, a continuación, por la inclusión de exclusión que tenemos, para ganar por lo menos 1 juego en n intentos: $P $\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)=\frac{n}{N}-{n\elegir 2}\frac{1}{N^2}+{n\elegir 3}\frac{1}{N^2}+.....\pm \frac{1}{N^{n}} $$ a menos que me haya perdido algo, no veo cómo podría evaluar numéricamente la probabilidad sin conocer el valor de $N$ edit: Hemos pasado una buena cantidad de tiempo en la fórmula de stirling, así que tal vez esta sería una manera de, al menos, de dar sentido a la función choose parte?

Answer 1

con sugerencia de Andre, queremos $(1-\frac{1}{N})^{n}\leq .5 \Rightarrow n\ln(1-\frac{1}{N})\leq \ln(.5)\Rightarrow \frac{\ln(1-\frac{1}{N})}{\ln(.5)}\leq n$ para cualquier $n\geq \lceil\frac{\ln(1-\frac{1}{N})}{\ln(.5}\rceil$ tenemos un mayor de 50% de probabilidades de winnning.