Supongamos que P y Q son verdaderas. Clasifique la siguiente afirmación como Verdadera o Falsa (elija una): Si (no P) entonces (no Q).
Puse Falso, la respuesta fue TRUE
Supuse que P y Q eran acontecimientos independientes, ya que nunca se mencionó que tuvieran algo que ver entre sí. Por lo tanto, P no influye en Q, por lo que P puede ser falso sin afectar a Q y viceversa.
Por lo tanto, no es necesariamente cierto que negar P niegue también Q.
¿Dónde he metido la pata?
El problema comienza con
Supongamos que P y Q son verdaderas.
Entonces piensas en la posibilidad de que
P puede ser falso.
Pero P no puede ser falsa - la suposición es que P es verdadera. El error que cometes es pensar en términos de posibilidad, por ejemplo, que P podría ser cierto aunque no es y luego interpretar "Si no P, entonces no Q" como una afirmación sobre posibilidades. Pero ese no es el sentido que se trata aquí. P es verdadero, Q es verdadero; así que "no P" y "no Q" son ambos falsos. La pregunta, entonces, es: ¿cómo pensamos que "falso implica falso"? (O peor aún, ¿"falso implica verdadero"?).
En última instancia, esto se reduce a cómo definimos la implicación en la lógica proposicional, pero la cuestión es que "falso implica ---" es vacuamente verdadera; quizá sea más fácil pensar primero por qué una afirmación como "Todo elefante volador morado es el rey de Francia" podría considerarse verdadera.
Un aspecto importante a tener en cuenta aquí es que estamos no pensar en "implica" en términos de causalidad o posibilidad. Si quieres hablar de esas cosas, tenemos que ir más allá de la lógica proposicional - lógica modal es un buen lugar para instalarse.
Cualquier enunciado si-entonces que comience con "Si" y luego algo que tenga un valor de Falso (no P en este caso) es lo que se denomina "vacuamente verdadero". En cierto sentido, no importa si la implicación se habría mantenido o no si esa afirmación falsa después del si fuera verdadera, porque no lo es.
Tu razonamiento está bien... pero es que en el contexto de la lógica, cualquier tipo de enunciado "si... entonces..." se analiza utilizando el condicional material definido matemáticamente... y eso puede llevar a algunos resultados inesperados, ya que ese condicional material no siempre coincide del todo con el condicional inglés.
Así que no "metiste la pata"... de hecho, tenías razón al cuestionar este mismo resultado, pero también hay excelentes razones para analizar 'si.. entonces...' utilizando el condicional material, así que más vale que te acostumbres al condicional material en el contexto de la lógica.
Si quieres saber más sobre esta misma cuestión, te sugiero que busques "paradojas de la implicación material"
Tienes que volver a la definición de la implicación :
$$ \begin{matrix} P & Q & P \Rightarrow Q \\ true & true & true\\ true & false & false\\ false & true & true\\ false & false & true \\ \end{matrix} $$
Ahora adaptémoslo a la proposición ' Si (no P) entonces (no Q)', es decir. $not(P) \Rightarrow not(Q)$ :
$$ \begin{matrix} P & Q & not(P) & not(Q) & not(P) \Rightarrow not(Q) \\ true & true & false & false & true\\ true & false & false & true & true\\ false & true & true & false & false\\ false & false & true & true & true\\ \end{matrix} $$
Usted está en el caso $P=true$ y $Q=true$ Así que $(not(P) \Rightarrow not(Q))=true$ .
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Implicación material no equivale a implicación causal.
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La implicación "Falso $\implies X$ " donde $X$ puede ser Verdadero o Falso es siempre ( vacuamente ) cierto.
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$P \land Q \land \neg P$ es siempre falso. Y a partir de una falsedad, cualquier cosa, incluyendo $\neg Q$ puede seguir. Es un método de prueba comúnmente utilizado. Véase mi respuesta a una pregunta relacionada en math.stackexchange.com/questions/1551320/