Que $(\Omega,\mathcal F)$ sea un espacio mensurable, $X:\Omega\rightarrow\mathbb R^d$ un mapa medible y $\mathbb P$, $\mathbb Q$ dos medidas de probabilidad. ¿Que $\mu\mathbb P=\mathbb P\circ X^{-1}$ y $\mu\mathbb Q=\mathbb Q\circ X^{-1}.$ es verdad que el $\mathbb P$ es equivalente a $\mathbb Q$ si y sólo si $\text{supp}(\mu\mathbb P)=\text{supp}(\mu\mathbb Q)$? Aquí definimos el apoyo de una medida de probabilidad de Borel el conjunto cerrado más pequeño que su complemento tiene medida cero. Una dirección es clara, ¿por qué el otro? ¿Contraejemplo? Tal vez yo sólo estoy supervisando algo...
Respuesta
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Falso. Considere la posibilidad de $\Omega=\mathbb R^d$, $\mathcal F=\mathcal B(\mathbb R^d)$, $X$ la identidad, y $\mathbb P$ $\mathbb Q$ discretas de probabilidad de medidas positivas pesos en los elementos de algunos contable de conjuntos de $S$$T$, respectivamente.
A continuación, los soportes de $\mathbb P=\mu_\mathbb P$ $\mathbb Q=\mu_\mathbb Q$ son los cierres de $S$$T$. Estos pueden coincidir, mientras que $S\cap T$ está vacía, es decir, uno puede tener $\mathrm{supp}(\mu_\mathbb P)=\mathrm{supp}(\mu_\mathbb Q)$ mientras $\mathbb P$ $\mathbb Q$ son mutuamente singular.
Ejemplo: si $d=1$, se puede elegir la $S$ el conjunto de los números racionales cuya forma reducida tiene un denominador y $T$ el conjunto de los números racionales cuya forma reducida tiene un denominador impar.
