Esto está relacionado con el lugar es interesante el hecho de que la fuerza magnética ejercida por dos cargas en movimiento, y, por tanto, por dos infinitesimal actual de los elementos, en cada uno de los otros no son iguales y opuestas y, por lo tanto, a primera vista, parecen violar la tercera ley de Newton. La electrodinámica no puede entenderse adecuadamente sin la relatividad especial, y un tratamiento adecuado tendría que tomar en cuenta que las fuerzas no actúan de forma instantánea a distancia, sino que están mediadas por un campo que puede llevar impulso.
En un estacionario de configuración, los elementos deben formar un bucle cerrado, y en este caso, que estas integrales describir, la fuerza de las contribuciones hacer suman igual y opuesta total de las fuerzas ejercidas por los lazos de corriente en cada uno de los otros. Para ver esto, expresa el triple de productos de vectores en términos de escalar productos de uso $\vec a\times(\vec b\times\vec c)=(\vec a\cdot\vec c)\vec b-(\vec a\cdot\vec b)\vec c$:
$$
\oint_{C_1} \oint_{C_2} \mathrm d\vec{r}\times{\mathrm d\vec{s}\times (\vec s-\vec s')\|\vec s-\vec s'|^3}
=\oint_{C_1} \oint_{C_2} {(\mathrm d\vec{s}\cdot(\vec s -\vec s'))\mathrm d\vec s'-(\mathrm d\vec s\cdot\mathrm d\vec s')(\vec s-\vec s')\|\vec s-\vec s'|^3}\;,
\\
\oint_{C_1} \oint_{C_2} \mathrm d\vec{s}'\times{\mathrm d\vec{r}\times (\vec s'-\vec s)\|\vec s'-\vec s|^3}
=\oint_{C_1} \oint_{C_2} {(\mathrm d\vec{s}'\cdot(\vec s' -\vec s))\mathrm d\vec s-(\mathrm d\vec s'\cdot\mathrm d\vec s)(\vec s'-\vec s)\|\vec s-\vec s'|^3}\;.
$$
Si añadimos estos dos total de las fuerzas, los dos segundos términos con las fuerzas a lo largo de la línea que conecta los elementos cancelar, y nos quedamos con los dos primeros términos con las fuerzas a lo largo de la dirección de las corrientes. Las integrales sobre estos términos se desvanecen, ya que puede ser escrita en términos de las integrales de línea de un gradiente a lo largo de una curva cerrada:
$$
\begin{eqnarray}
\oint_{C_1} \oint_{C_2} {(\mathrm d\vec{s}\cdot(\vec s -\vec s'))\mathrm d\vec s'\over |\vec s-\vec s'|^3}
&=&
\oint_{C_2}\mathrm d\vec s'\oint_{C_1}\mathrm d\vec s\cdot\frac{\vec s-\vec s'}{|\vec s-\vec s'|^3}
\\
&=&-\oint_{C_2}\mathrm d\vec s'\oint_{C_1}\mathrm d\vec s\cdot\vec\nabla_{\vec s}\frac{1}{|\vec s-\vec s'|}
\\
&=&
0\;,
\end{eqnarray}
$$
y de forma análoga para el primer término en la segunda ecuación. Por lo tanto la suma del total de las fuerzas se desvanece, como debe ser en un estacionario de configuración.
Para más información sobre esto, incluyendo un tratamiento de la fuerza ejercida por un circuito cerrado de corriente de bucle sobre sí mismo y las referencias a un tratamiento relativista, ver La Ampère y Biot–Savart vigor de las leyes por G. Cavalleri, G. Spavieri y G. Spinelli, Eur. J. Phys. 17 (1996) 205-207.
