¿Cómo hallar una matriz de 2x2 con elementos distintos de cero y valores propios repetidos?

Question

Necesito encontrar una matriz de 2x2 con elementos no nulos que tenga valor propio = 1 repetido (doble).

¿Cómo puedo hacerlo? Gracias.

Answer 1

Puedes probar con esto:

Su $2\times2$ debe ser de la forma

$$M = \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right),$$

siendo su polinomio característico:

$$p(\lambda) = |M-\lambda I_2| = \lambda^2 - (a+d) \lambda +ad- bc $$

Ya que quieres tus valores propios, $\lambda$ para ser a la vez $1$ , su polinomio característico debe convertirse en:

$$p(\lambda) = (\lambda-1)^2 = \lambda^2 - 2\lambda + 1,$$

por lo que estas relaciones deben mantenerse para $a,b,c,d$ comparando término por término:

$$a+d = 2, \quad ad-bc = 1,$$

y toda matriz $M$ satisfacer esta será su respuesta.

Tenga en cuenta que $ad-bc = |M| = \lambda_1 \lambda_2 = 1$ y $a+d = \text{Tr}(M) = \lambda_1+ \lambda_2 = 2$ .

Espero que le sea útil.

¡Salud!

Answer 2

La matriz que busca debe tener $$\chi = (\lambda-1)^2$$ como su polinomio característico.

Por lo tanto su matriz dada por $A = \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ debe cumplir

$$\det (\mathcal{I_2}\lambda-A) = (\lambda-a)(\lambda-d)-bc \stackrel{!}{=}(\lambda-1)^2$$ $$\Longleftrightarrow \lambda^2 -\lambda(a+d) + (ad-bc) = \lambda^2-2\lambda +1 $$ Esto es verdad si

$$ a+d = 2 \,\, \wedge ad-bc = 1 $$

Ahora resolver este sistema por Try&Error:

• Si $a=1$ entonces $b$ o $c$ tiene que ser $0$ $\longrightarrow$ no es una solución válida
• Si $a=2$ entonces $d$ tiene que ser $0$ $\longrightarrow$ no es una solución válida
• Si $a=3$ entonces $bc$ tiene que ser $-4$ . Elegir $b=2=-c$ da como solución

$$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$$

Answer 3

Pista: Piensa en cuál sería el polinomio característico. ¿Cómo se puede construir una matriz con un polinomio característico dado? (Hay una matriz extremadamente sencilla de este tipo $2\times 2 $ matriz).

Answer 4

Puedes comprobar que esta matriz funciona:

$A_{2,2}= \begin{pmatrix} 1/3 & 4/3\\ -1/3 & 5/3 \end{pmatrix}$

La forma en que lo conseguí fue utilizando la similitud matricial. Esta matriz es similar a una matriz con $1$ como valores propios repetidos.