Es cierto que para cada $n\in \mathbb N$ existe un primer $p$ de manera tal que la extensión de $\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p$ tiene un elemento primitivo $a\in \mathbb F_{p^n}$$a^n\in\mathbb F_p$?
Traté de encontrar un contraejemplo, pero no la sarna de pensar de uno. por otro lado, he tratado de demostrarlo. De Artin primitivo elemento teorema, para cada prime $p$ existe un elemento $a\in \mathbb F_{p^n}$ tal que \begin{equation*}\mathbb F_{p^n}=\mathbb F_p (a)\end{ecuación*} y\begin{equation*}[\mathbb F_{p^n}:\mathbb F_p]=n\end{ecuación*}implica que \begin{equation*}\textrm{deg}(m_{a,\mathbb F_p })=n\end{ecuación*}Ahora no sé cómo elegir $p$ \begin{equation*}m_{a,\mathbb F_p }=x^n+a^n\end {ecuación*}i.e cada coeficiente de $x^k$ $k=1,...,n-1$ $0$
Respuestas
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Sí, esto es cierto.
Dado un entero positivo $n>1$ deje $p$ ser cualquier prime tal que $p\equiv 1\pmod n$. En otras palabras, queremos que $p=1+an$ para algunos entero $a>0$. Por Dirichlet del teorema sobre la infinitud de los números primos en una progresión aritmética hay infinitamente muchos de esos primos $p$.
Fijemos un primer $p$. Deje $c$ ser una raíz primitiva módulo $p$. Yo reclamo que $f(x)=x^n-c$ es un polinomio irreducible en el ring $\Bbb{F}_p[x]$.
Lema. Con $n,p$ anterior y $k$ cualquier entero positivo tenemos $n(p-1)\mid p^k-1$ si y sólo si $n\mid k$.
Prueba. Claramente $n(p-1)$ es un factor de $p^k-1$, iff $n$ es un factor de $1+p+p^2+\cdots+p^{k-1}$. Pero aquí $p^i\equiv1\pmod n$ todos los $i$. El reclamo de la siguiente manera.
A continuación, podemos probar la irreductibilidad de $f(x)$ como sigue. Suponga que $f(x)$ tiene un factor irreducible de grado $k$. Deje $\alpha$ ser un cero de tal factor. Deje $r$ ser el orden de $\alpha$, es decir, el menor exponente positivo con la propiedad $\alpha^r=1.$ Aquí $\alpha^{n(p-1)}=c^{p-1}=1$, lo $r\mid n(p-1)$. Yo reclamo que realmente tenemos $r=n(p-1)$. Debido a $c$, un elemento del grupo cíclico generado por $\alpha$, es de orden $p-1$ lo que necesariamente ha $(p-1)\mid r$. Por lo tanto, es suficiente para demostrar que para todos los factores primos $q$ $n$ tenemos $\alpha^{n(p-1)/q}\neq1$. Debido a $n\mid p-1$ tenemos que $q\mid p-1$. Por lo tanto $$ \alpha^{n(p-1)/q}=(\alpha^n)^{(p-1)/q}=c^{(p-1)/q}\neq1. $$
El resto es fácil. Debido a $\alpha\in\Bbb{F}_{p^k}$ debemos tener $r\mid p^k-1$. El Lema dice que $n\mid k$, lo $f(x)$ no tiene factores de grado $<n$ y debe ser irreductible.
El automorfismo de Frobenius$\varphi:\mathbb{F}_{p^n}\to \mathbb{F}_{p^n}$ es una biyección que arregla el subcampo principal$\mathbb{F}_p$, entonces$\varphi(a)\in\mathbb{F}_p$ si y solo si$a\in\mathbb{F}_p$, y de hecho para todo$k$, tener$\varphi^k(a)\in\mathbb{F}_p$ si y solo si$a\in\mathbb{F}_{p}$.
Por lo tanto, siempre que$n$ sea una potencia de$p$, tenemos$a^n\in\mathbb{F}_p$ si y solo si$a\in\mathbb{F}_p$, y tal$a$ ciertamente no puede ser un elemento primitivo para $\mathbb{F}_{p^n}$.
