Encontrar la distancia entre Helsinki y Seattle

Question

¿Cómo puedo encontrar la distancia entre Helsinki y Seattle a lo largo de la ruta más corta? Esto es en realidad una pregunta de un matemático basado en libro de Astronomía. Yo no estoy en una ciencia o en la clase de matemáticas. Sólo estoy tratando de aprender Astronomía en mi propio y esta es una de las preguntas en el libro.

Aquí están las Preguntas: Encontrar la distancia entre Helsinki y Seattle a lo largo de la ruta más corta. Donde es el punto más septentrional de la ruta, y cuál es su distancia desde el Polo Norte? La longitud de Helsinki es $25$ grados E, y la latitud $60$ grados; la longitud de Seattle es $122$ grados W y latitud $48$ grados. Suponga que el radio de la Tierra es $6{,}370$ km(kilómetros).

Las respuestas que el libro ofrece son: 1) $7{,}640$ kilómetros, 2) el punto más Septentrional es $79$ grados N, $45$ grados W, y 3) en el Norte de Groenlandia, $1{,}250$ km del Polo Norte.

Sé que el ángulo central se puede encontrar utilizando el Gran Círculo de la ecuación: $$Δσ = \arccos( \sin φ_1 × \sin φ_2 + \cos φ_1 × \cos φ_2 × \cos Δλ ),$$ donde $Δσ$ es el ángulo central, $φ_1$ $λ_1$ son las coordenadas de latitud y longitud de la primera ciudad, y $φ_2$ $λ_2$ son las coordenadas de latitud y longitud de la segunda ciudad. Pero no sé cómo encontrar a $Δλ$, y las otras dos respuestas (donde el punto más septentrional de la ruta es, y lo que su distancia desde el Polo Norte).

\begin{align} φ_1 &= 60° \\ λ_1 &= 25° \\ φ_2 &= 48° \\ λ_2 &= -122° \end{align}

Enchufe: \begin{align} Δσ &= 68.72° \\ Δσ &= 1.199 \text{ radians} \end{align}

$$s = rΔσ = 7640 \text{ km}$$

Answer 1

¿Así que creo que se trata de dos puntos en coordenadas esféricos $\vec{r}_1=(R,\theta_1,\phi_1)$ y $\vec{r}_2=(R,\theta_2,\phi_2)$, cómo encontrar la distancia más corta entre ellos sobre la superficie esférica con radio $R$?

Primero tenemos que encontrar el ángulo entre $\vec{r}_1$y $\vec{r}_2$, $\alpha$, que puede obtenerse fácilmente por producto de punto.

$$\hat{r}_1=\sin\theta_1\cos\phi_1 \hat{x}+\sin\theta_1\sin\phi_1\hat{y}+\cos\theta_1\hat{z}$ $ $$\hat{r}_2=\sin\theta_2\cos\phi_2 \hat{x}+\sin\theta_2\sin\phi_2\hat{y}+\cos\theta_2\hat{z}$ $ $$\hat{r}_1\cdot\hat{r}_2=\sin_1\theta_1\sin\theta_2\cos\phi_1\cos\phi_2+\sin\theta_1\sin\theta_2\sin\phi_1\sin\phi_2+\cos\theta_1\cos\theta_2$ $ $$=\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\left(\phi_1-\phi_2\right)+\cos\theta_1\cos\theta_2$ $ $$\alpha=\cos^{-1}\left[\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\left(\phi_1-\phi_2\right)+\cos\theta_1\cos\theta_2\right]$ $ Y por lo tanto la distancia es $$D=R\alpha=R\cos^{-1}\left[\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\left(\phi_1-\phi_2\right)+\cos\theta_1\cos\theta_2\right]$ $

Answer 2

1), puede utilizar el esférico ley de los cosenos , que puede ser reducido a

$$ D = R \arccos{(\sin \lambda_A \sin \lambda_B + \cos \lambda_A \cos \lambda_B \cos(L_A - L_B))} $$

donde $(\lambda_A, L_A)$ son las coordenadas de latitud y longitud del punto a y lo mismo para B.

3) una vez que se sabe 2), y que denota el punto C, sólo se puede utilizar

$$ D' = R (90 - \lambda_C) \frac{\pi}{180}$$

donde $\lambda_C$ es la latitud de C - la expresión no es más que el ángulo desde el Polo Norte en radianes. Esta es una forma mucho más simple de aplicación de la misma ley:

$$ D' = R \arccos(\cos(90 - \lambda_C)) $$

2) puede ser más difícil - no sé cómo hacerlo, en la parte superior de mi cabeza. Supongo que la forma más fácil es conseguir que el producto cruzado como un comentario sugiere. El ángulo entre eso y el Polo Norte, la latitud del lugar de C.

Answer 3

Clave: P = polo norte, A = Seattle, B = Helsinki, V = punto más septentrional de la gran ruta circular.

Referencia: artículo de Wikipedia sobre trigonometría esférica

Como se señaló en el OP, el gran círculo de la distancia se puede encontrar mediante el uso de la forma esférica de baja de los cosenos para los lados. La convención en trigonometría esférica es que la co-latitud se utiliza como medida del ángulo desde el polo norte hasta un punto, por lo que la co-latitud es cero en el polo norte y 90 grados en el ecuador. El co-latitudes de Seattle y Helsinki $42^{\circ}$ $30^{\circ}$ respectivamente.

Sólo para el registro, el cálculo de la distancia ortodrómica desde Seattle a Helsinki va como esto: $$\begin{align} \cos AB &= \cos a \; \cos b + \sin a \; \sin b \; \cos P \\ &= \cos 42^{\circ} \cos 30^{\circ} + \sin 42^{\circ} \sin 30^{\circ} \cos 147^{\circ} \\ &= 0.362992 \end{align}$$ Por lo $AB = 1.1993 \text{ radians} = 68.7^{\circ}$, y la distancia es de $1.1993 \times 6370 = 7640$ km.

A continuación podemos calcular el ángulo de $A$, utilizando de nuevo el esférico ley de los cosenos. $$\cos a = \cos b \; \cos AB + \sin b \; \sin AB \; \cos A$$ así $$\begin{align} \cos A &= \frac{\cos a - \cos b \; \cos AB}{\sin b \; \sin AB} \\ &= \frac{\cos 42^{\circ} - \cos 30^{\circ} \cos 68.7^{\circ}} {\sin 30^{\circ} \sin 68.7^{\circ}} \\ &= 0.9200 \end{align}$$ so $ = 23.0^{\circ}$

El resto de los cálculos tienen que ver con las leyes de derecho de triángulos esféricos, desde el ángulo de $AVP = 90^{\circ}$. $$\begin{align} \sin h &= \sin A \; \sin b \\ &= \sin 23.0^{\circ} \sin 30^{\circ} \\ &= 0.19556 \end{align}$$ so $h = 0.1969 \text{ radianes} = 11.3^{\circ}$, and the distance from $P$ to $V$ is $0.1969 \times 6370 = 1254$ km.

Para encontrar la longitud de $V$, encontramos por primera vez el ángulo de $APB$. $$\begin{align} \cos APB &= \frac{\tan h}{\tan b} \\ &= \frac{\tan 11.3^{\circ}}{\tan 42^{\circ}} \\ &= 0.2215 \end{align}$$ so angle $APB = 77.2^{\circ}$, and the latitude of point V is $77.2^{\circ} - 122^{\circ} = -44.8^{\circ} = 44.8^{\circ} W$