Integral de espacios medibles

Question

Si para cada una de las $t\in I=[0,1]$ tengo un espacio medible $(X_t,\Sigma_t)$, hay un estándar de la noción de que dará un importante espacio que merece ser llamada la integral de la $\int_I X_t\,\mathrm d t$?

Motivados por esta pregunta y la curiosidad...

Answer 1

Una integral es una generalización de una suma ponderada, pero ni la adición de espacios medibles ni la multiplicación con números significativos de las operaciones. Tampoco se puede construir integrales de espacios topológicos, filtros, uniformidad, etc.

Ya que la pregunta está inspirada en los productos de medir los espacios, lo que uno puede hacer es formar directo sumas. El folleto de Borel espacios por Rao y Rao contiene dos enfoques. Deje $(X_\lambda,\mathcal{X}_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ ser una familia de espacios medibles. Podemos suponer que el subyacente de los espacios que se separe y $X=\bigcup_\lambda X_\lambda$. Los conjuntos medibles de la suma directa de son de la forma $\bigcup_\lambda B_\lambda$ algunos $(B_\lambda)\in\prod_\lambda \mathcal{X}_\lambda$. La débil suma directa tiene como subyacente $\sigma$-álgebra de la familia $\sigma\big(\bigcup_\lambda\mathcal{X}_\lambda\big)$. La suma directa y la debilidad de la suma directa coinciden si y sólo si $\Lambda$ es contable.