¿Cómo puedo demostrar que no hay otro : $k=9,12,18$ para los que esto falla : $\sigma^k(114) \equiv 0\mod 6 $ ?

Question

Dejar $\sigma(n)$ sea la suma de los divisores de un número entero positivo, por ejemplo :

$$\sigma(6)=1+2+3+6=12$$ .

He realizado algunos cálculos en wolfram alpha sobre la suma de los divisores de este número:

$q=114$ de tal manera que tengo esto : $\sigma(114)=240\equiv 0\mod 6 $ y $\sigma(\sigma(114))=744\equiv 0\mod 6 $ y $\sigma(\sigma(\sigma(114)))=1920\equiv 0\mod 6 ,\cdots$ .

Mi pregunta aquí es :¿Cómo puedo demostrar que no hay otro : $k=9,12,18$ para los que esto falla : $$\sigma^k(114) \equiv 0\mod 6 $$ Entonces, ¿cuál es el lugar de este número en la teoría numérica?

Nota (01):* Creo que es el único entero que falla sólo para $k=9,12,18$

Nota (02) : $\sigma^k(114)=\sigma(\sigma(\sigma(\sigma(114\cdots))))))),k-th $

Gracias por cualquier ayuda .

Answer 1

Sugerencia para el cálculo rápido de sigma en una cadena...

Dejemos que un número se escriba como $$ \prod p^{n_p}, $$ donde $p$ son números primos. Entonces tenemos $$ \sigma\Big(\prod p^{n_p}\Big) = \prod \frac{p^{n_p+1}-1}{p-1}. $$

Ejemplo: $$ \sigma(114) = \sigma(2 \times 3 \times 19) = \frac{2^2-1}{2-1} \frac{3^2-1}{3-1} \frac{19^2-1}{19-1} = 3 \times 4 \times 20 = 2^4 \times 3 \times 5 $$ $$ \sigma^2(114) = \sigma(2^4 \times 3 \times 5) = 31 \times 4 \times 6 = 2^3 \times 3 \times 31 $$ $$ \sigma^3(114) = \sigma(2^3 \times 3 \times 31) = 15 \times 4 \times 32 = 2^7 \times 3 \times 5 $$ $$ \sigma^4(114) = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 17\\ \sigma^5(114) = 2^2 \times 3^4 \times 5 \times 13\\ \sigma^6(114) = 2^2 \times 3 \times 7^2 \times 11\\ \sigma^7(114) = 2^2 \times 3 \times 7^2 \times 19^2\\ \sigma^8(114) = 2^2 \times 3^2 \times 7 \times 19 \times 127\\ \sigma^9(114) = 2^{13} \times 5 \times 7 \times 13\\ $$

y $\sigma^9(114)$ no es divisible por $3$ ...

Hasta ahora, no veo ningún patrón...

Podrías escribir un programa de ordenador para ejecutar la secuencia y comprobarla...