Elementos $f \in \mathbb{Z}[X]/I$ que satisfacer $f^{18}=1$

Question

Que $I$ ser el ideal de la $\mathbb{Z}[X]$ de $(X^2+2)(X+1)$ y $5$. Entonces, ¿cuántos elementos $f \in \mathbb{Z}[X]/I$ satisfacer $f^{18}=1$?

Sé que puedo escribir en $f(X)=aX^2+bX+c$ $a,b,c=0\sim 4$ ($\mathbb{Z}[X]/I $), pero es muy difícil calcular $f^{18}$.

Answer 1

El anillo $R=\Bbb Z[X]/I$ es isomorfo a $\Bbb F5\times \Bbb F{25}$.

En $\Bbb F_5$ $t^{18}=1$ tiene dos soluciones, como $\gcd(5-1,18)=2$.

En $\Bbb F_{25}$ $t^{18}=1$ tiene seis soluciones, $\gcd(25-1,18)=6$.

Por lo tanto $R$ tiene doce soluciones al $t^{18}=1$.