$\lim_{x\to\infty}\sqrt [n] {p_n(x)}-\sqrt [m] {p_m(x})$ $p_k(x)$ Dónde está polinomial de orden k.

Question

Cuál es la forma más fácil de evaluar $$ \lim_{x\to\infty}\sqrt [n] {p (x)}-\sqrt [m] {q(x}) $$ where $p,q\in\mathbb{R}[x]$ with $\deg p = n$, $\deg q = m$.

Answer 1

Escribir $$ p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + o(x^{n-1}), \qquad q(x) = b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + o(x^{m-1}) $$ donde $o(f(x))$ representa para algunos la expresión que tiende a cero si se divide por $f(x)$.

Tenga en cuenta que si $n$ o $m$ es incluso debe suponer que el coeficiente correspondiente a $a_n$ o $b_m$ es positivo, de lo contrario el $n$-raíz no está definida para valores grandes de a $x\to +\infty$. El opuesto a la solicitud debe mantener si $x\to -\infty$.

Recordemos que $$ \sqrt[n]{1+y} = (1+y)^{1 \over n} = 1 + \frac y n + s(y) \qquad y\a 0 $$ por lo tanto para $x\to \pm\infty$ ($y=1/x\to 0$) $$ \sqrt[n]{p(x)} = \sqrt[n]{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + o(x^{n-1})} = \sqrt[n]{a_n} x \sqrt[n]{1+\frac{a_{n-1}}{{a_n}x} +o(x^{-1})} = \sqrt[n]{a_n} x + \frac{a_{n-1}}{na_n} + o(1). $$ Así $$ \sqrt[n]{p(x)} - \sqrt[m]{q(x)} = \left(\sqrt[n]{a_n} - \sqrt[m]{b_m}\right)x + \frac{a_{n-1}}{na_n} - \frac{b_{m-1}}{m b_m} + o(1) $$ y el límite es de $\pm \infty$ si el coeficiente de $\sqrt[n]{a_n} - \sqrt[m]{b_m}$ es diferente de cero (con la señal dada por el signo de su coeficiente), de lo contrario, el límite es el segundo coeficiente: $$ \frac{a_{n-1}}{na_n} - \frac{b_{m-1}}{m b_m} $$

Answer 2

$p(x)=x^n\left(an+\sum{j=0}^{n-1}a_jx^{j-n}\right)$ y $q(x)=x^m\left(bm+\sum{j=0}^{m-1}b_jx^{j-m}\right)$, por lo tanto, $$\sqrt[n]{p(x)}-\sqrt[m]{q(x)}=x\left(\sqrt[n]{an+\sum{j=0}^{n-1}a_jx^{j-n}}-\sqrt[m]{bm+\sum{j=0}^{m-1}bjx^{j-m}}\right)=:xf(x).$ $ tenemos $\lim{x\to +\infty}f(x)=\sqrt[n]{a_n}-\sqrt[m]{b_m}$, así que si $\sqrt[n]{a_n}\neq \sqrt[m]{b_m}$ el límite es $\pm\infty$, donde el signum depende si tomamos el límite cuando $x\to \pm\infty$ $\sqrt[n]{a_n}-\sqrt[m]{b_m}$ es positivo o no.

Cuando $\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[m]{b_m}$, podemos hacer una aproximación de Taylor de $f(x)$ para determinar el límite.