Diferentes definiciones de una conexión en un paquete del vector

Question

Mis notas de la conferencia definir una conexión en un vector paquete de $\pi:E\rightarrow{M}$ $\mathbb{R}$- lineal mapa: \begin{equation} \nabla:\Gamma(E)\rightarrow\Gamma(T^*M\otimes{E}) \end{equation}

la satisfacción de la regla de Leibniz $\nabla(fs)=\mathrm{d}f\otimes{s}+f\nabla{s}$ para todos los $f\in{C^{\infty}(M)}$, $s\in\Gamma(E)$.

Entonces, dado un campo vectorial $X$$M$, la derivada covariante a lo largo de $X$ es el mapa \begin{equation} \nabla_X:\Gamma(E)\rightarrow\Gamma(E) \end{equation} tal que para $s\in\Gamma(E)$, $\nabla_Xs=\mathrm{Tr}(X\otimes\nabla{s})$, es decir, la contracción de los dos primeros componentes de $X\otimes\nabla{s}\in{TM}\otimes{T^*M}\otimes{E}$ (creo que es correcto omitir la $\Gamma$'s aquí por simplicidad, y que esto no es un error?)

Sin embargo, estoy tratando de conciliar esta definición con lo que me estoy encontrando en casi todos los demás de la fuente, que es como sigue: con el mismo conjunto como en el anterior, una conexión es un mapa \begin{equation} \nabla:\Gamma(TM)\times\Gamma(E)\rightarrow\Gamma(E) \end{equation}

la satisfacción de $C^\infty$-linealidad en el primer componente, $\mathbb{R}$-linealidad en el segundo componente, y el producto de la regla de $\nabla_X(fs)=f\nabla_X{s}+(Xf)s$ todos los $f\in{C^\infty(M)}$. En este caso, la imagen de $\nabla_Xs$ $(X,s)$ bajo $\nabla$ se define para ser la derivada covariante de $s$ en la dirección $X$. Esta definición parece mucho más fáciles de trabajar, así que me gustaría hacer el enlace entre ellos.

Me imagino que podría tener algo que ver con la identificación entre el$\mathrm{Hom}(TM,E)$$T^*M\otimes{E}$, pero no tengo más que eso.

Answer 1

Si aplicamos parcialmente su segunda definición a un $s \in \Gamma(E)$ de la sección, obtenemos un $C^\infty(M)$-linear mapa $\nabla s : \Gamma(TM) \to \Gamma(E)$. Tenga en cuenta el hecho de que $C^\infty(M)$-mapas lineares entre las gavillas de las secciones se derivan siempre de homomorphisms del paquete ("$C^\infty$-mapas lineares son tensores"); es decir, $$\operatorname{Hom}{C^\infty(M)}(\Gamma(TM), \Gamma(E)) = \Gamma(\operatorname{Hom}\mathbb R(TM,E)).$$ Thus $\nabla s$ is in fact a section of $\operatorname{Hom} (TM, E) = T ^ * M \otimes E $ as desired, and the assignment $s \mapsto \nabla s$ satisface la regla de Leibniz en ambas definiciones.