Cómo probar que $\alpha''(s)$ va hacia el interior de la curva $\alpha(s)$

Question

Sea $\alpha:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}^2$ un plano curva parametrizadas por longitud de arco de $\alpha(s)$.

vector tangente de la unidad de $T(s):$

Tenga en cuenta que $||T(s)||=1\Longrightarrow T'(s)\perp T(s)$

Cómo probar que $T'(s)$ va hacia el "interior de la curva ''.

'' dentro de la curva '' $:$ en sentido a la región convexa que encierra la curva (localmente en el punto $\alpha(s)$)

Se agradecería cualquier insinuación.

Answer 1

Deje $\phi$ es el ángulo entre el $T$ e las $x$-eje, entonces

$$\frac{dT}{ds}=\frac{dT}{d\phi}\frac{d\phi}{ds}.$$

Dado que la longitud de $T$ es constante, $\frac{dT}{ds}$ $\frac{dT}{d\phi}$ ambos son perpendiculares a $T$. Tienen la misma dirección si $\frac{d\phi}{ds}$ sea positivo y en sentido contrario si $\frac{d\phi}{ds}$ ser negativo. Podemos escribir $$T=(\cos \phi) \mathbf{i} +(\sin\phi)\mathbf{j}$$ así $$\frac{dT}{d\phi}=-(\sin \phi)\mathbf{i}+(\cos \phi)\mathbf{j}=\cos(\phi+\frac{\pi}{2})\mathbf{i}+\sin(\phi+\frac{\pi}{2})\mathbf{j}$$ es un vector unitario el cual se obtiene por la rotación de $T$ antihorario $\frac{\pi}{2}$ radianes. Por lo tanto, si usted está de pie en el punto de $\alpha(s)$ y en la dirección de la $T$, el vector $$\frac{dT}{ds}=\frac{dT}{d\phi}\frac{d\phi}{ds}$$ está a la izquierda si $\frac{d\phi}{ds}$ ser positivo y, a la derecha si $\frac{d\phi}{ds}$ ser negativo. En otras palabras $\frac{dT}{ds}$ va hacia la concavidad de la curva. (Ver figuras siguientes)

Answer 2

Supongo que realmente depende de cómo se defina las palabras "en el interior de la curva". Nota que en su imagen, en el punto en el centro de la flecha, no está claro (o al menos, no para mí), que es el interior y el exterior de la curva.

Seguir OP definición: suponga que el $\gamma$ a nivel local es la gráfica de una función. Que es $\gamma (t)=(t,f(t)),$ en un neighborood de $t=0$. Desde $\gamma ''(t)=(0,f''(t))$ si $f''(t)>0$ ($<0$), el vector de aceleración apunta hacia arriba (hacia abajo), la función es localmente convexa (cóncava) y en el gráfico que se encuentra enteramente por encima (debajo) de la tangente.

Answer 3

Usted puede asumir $\alpha(0)=(0,0)$$\alpha'(0)=(1,0)$. Desde su curva de $\gamma$ es parametrizada por longitud de arco sabemos que $\alpha''(0)\perp\alpha'(0)$, lo $\alpha''(0)=(0,\kappa)$ algunos $\kappa\in{\mathbb R}$. De ello se desprende que para $|t|\ll1$ hemos $$\alpha:\quad t\mapsto\cases{x(t)&$=t+\ ?t^3$\cr y(t)&$={\displaystyle{\kappa\over2}}t^2+\ ?t^3$\cr}\quad .$$ La eliminación de $t$ vemos que en el barrio de $(0,0)$ la curva de $\gamma$ puede ver como la gráfica $$y={\kappa\over2} x^2+\ ?x^3\ .$$ Al $\kappa>0$ esto es, en primera aproximación, una parábola doblado hacia arriba, como se indica por la flecha $\alpha''(0)=(0,\kappa)$; y de manera similar, cuando se $\kappa<0$ tenemos una parábola doblado hacia abajo.