Un dado (con seis lados) se rodó en repetidas ocasiones y se suman. Muestran que el número esperado de rollos hasta que la suma es múltiplo de $n$$n$.
En
http://www.madandmoonly.com/doctormatt/mathematics/dice1.pdf
problema 12 página 15 una prueba está dado, suponiendo que la distribución de la suma de los dados los valores de n > 6 es uniforme y es igual a $\frac{2}{7}$ que es una suposición falsa de que no debe ser utilizado en una rigurosa prueba.
Si $X_m$ es la suma después de $m$ rollos, entonces el proceso de $Y_m=X_m\pmod n$ tomando valores en $\{0,1,\dots,n-1\}$ es un paseo aleatorio, teniendo en cuenta el espacio de estado como puntos en el círculo. Por simetría, su único invariante de distribución de probabilidad de $\pi$ es uniforme a lo largo de la $n$ estados. Por lo tanto el tiempo de espera para volver al punto de partida $0$$1/\pi(0)=n$. Desde su suma comenzó en $0$, esto da el resultado.
Por cierto, este argumento funciona para cualquier (fijo) o feria de carga morir con cualquier número de lados. Incluso podría ser un solo lado "morir", y los números podrían ser positivos, negativos y/o cero!!! Yo sólo insisten en que es posible para llegar desde cualquier estado a cualquier otro estado. Es decir, la cadena de Markov es irreductible.
Para demostrar estos resultados plenamente, necesita la teoría de cadenas de Markov en un número finito de espacio de estado. En particular, el tema de "el regreso". Echa un vistazo a el libro de las Cadenas de Markov y los Tiempos de Mezcla por Levin, Peres, y Wilmer, disponible gratuitamente aquí. La proposición 1.14 (ii) en la página 12 le da lo que quiere. Sección 1.4 de Introducción a Procesos Estocásticos (2ª edición) por Gregory F. Lawler también tiene una buena explicación.
Aquí está una imagen intuitiva. La cadena de Markov se inicia a través cada vez que se golpea con el estado $0$. Escribir "$z$" cuando la cadena está en estado cero y "$y$" de lo contrario, un resultado típico se parece a
$zyyyyyyyyyyyzyyzzyyyyyyyyyzyyyyzyyyyyyyyyyyyyyyyyyzy\dots$
donde nos hemos unido para una secuencia de independiente finito de cadenas, como $zyyyyyyyyyyy$, de longitud aleatoria. Cada finito cadena comienza con un $z$ y tiene cero o más $y$s siguientes.
El hecho de que $\pi(z)=1/n$ significa que en un número muy largo de ensayos, el promedio de la proporción de $z$s en el resultado se acerca a $1/n$. Para hacer que el trabajo, la distancia media entre la $z$s debe ser $n$.
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