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Demostrar (a través de las propiedades de la integral definida)

Probar lo siguiente:

$$\lim_{n \to \infty} \displaystyle \int_0 ^{2\pi} \frac{\sin nx}{x^2 + n^2} dx = 0$$

¿Cómo puedo demostrarlo? Yo sé que usted tiene que demostrar sus pasos, pero literalmente me estoy atascado en el primero, por lo que no puede.

7voto

Anthony Shaw Puntos 858

El enfoque más simple parece ser la nota que $$ \left|\frac{\sin(nx)}{x^2+n^2}\right|\le\frac1{n^2} $$ así que $$ \left|\int_0^{2\pi}\frac{\sin(nx)}{x^2+n^2}\,\mathrm{d}x\right|\le\frac{2\pi}{n^2} $$

5voto

OFFSHARING Puntos 19136

SUGERENCIA: Hacer uso de

$$\left|\dfrac{\sin nx}{x^2 + n^2}\right|\le\dfrac{1}{x^2 + n^2}$$

Creo que también quiere ver valor Absoluto de la integral de la desigualdad de prueba de paso.

3voto

Fly by Night Puntos 17932

Nos puede venir para arriba con algunos límites para esta integral $I$. Primer aviso de que $$|I|=\left|\int_0^{2\pi} \frac{\sin (nx)}{x^2+n^2} \operatorname{d}\!x \right| \le \int_0^{2\pi} \left|\frac{\sin (nx)}{x^2+n^2}\right| \operatorname{d}\!x \le \int_0^{2\pi} \frac{1}{\left|x^2+n^2\right|} \operatorname{d}\!x \le \int_0^{2\pi} \frac{1}{||x^2|-|n^2||} \operatorname{d}\!x$$ El último paso fue la aplicación del triángulo inequaility: $|z+w| \ge ||z|-|w||$. Por lo tanto: $$\lim_{n\to\infty}|I|\le\lim_{n\to\infty}\left(\int_0^{2\pi} \frac{1}{||x^2|-|n^2||} \operatorname{d}\!x\right) =\int_0^{2\pi}\lim_{n\to\infty}\left( \frac{1}{||x^2|-|n^2||}\right) \operatorname{d}\!x = 0$$ Desde $|I|\to 0$$n \to \infty$$I \to 0$$n \to \infty$.

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