Demuestra que si {a;b} $\in \mathbb R^+$ entonces $a^2+b^2>ab$

Question

Ya he probado a factorizarlo, pero no parece que evolucione mucho:

Primero multiplico cada lado por $2$ :

$ 2(a^2+b^2)>2ab$

A continuación, sustituyo utilizando la relación $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ y se convierte en:

$2(a^2+b^2)>(a+b)^2 - (a^2+b^2)$

y luego:

$3(a^2+b^2)>(a+b)^2$

Y eso es todo, estoy atascado.

Answer 1

$$ a^2+b^2-ab=\frac{(2a-b)^2+3b^2}{4}. $$

Answer 2

Tenemos que

$$0\le (a-b)^2=a^2+b^2-2ab.$$ Así, tenemos

$$2ab\le a^2+b^2.$$

Ahora, si $ab$ es positivo, entonces

$$ab< 2ab\le a^2+b^2.$$ Y si $ab$ es negativo, entonces

$$ab< 0 <a^2+b^2.$$

Answer 3

$$ (a-b)^2 \geq 0 \\ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \\ a^2 + b^2 \geq 2ab \geq ab $$

Answer 4

Para $ab\ge0$ :

$$(a-b)^2 \ge 0 \Rightarrow a^2+b^2 \ge 2ab >ab$$

Si $ab<0$ entonces podemos escribir fácilmente

$$a^2+b^2>ab$$

porque el lado izquierdo es positivo y el derecho es negativo.

Answer 5

$(a-b)^2\ge 0$

$\implies a^2+b^2\ge 2ab$

$\implies a^2+b^2\gt ab$

si $ab$ es negativo entonces se deduce que el LHS es siempre positivo