¿Cómo se puede calcular la predicción de la probabilidad de un valor entero de una binomial negativo de la ecuación de regresión?

Question

Estoy tratando de estimar las probabilidades pronosticadas de una observación que un determinado número entero, $y$, después de que un modelo de regresión binomial negativa. Largo de modelos de Regresión para categórica y limitado de variables dependientes que le da a este predice la probabilidad como (pg.237):

$$ \hat{\text{Pr}}(y \mid x) = \frac{ \Gamma(y + \hat{a}^{-1}) }{ y!\Gamma(\hat{a}^{-1}) } \left( \frac{\hat{a}^{-1}}{\hat{a}^{-1}+\hat{\mu}}\right)^{\hat{a}^{-1}} \left( \frac{\hat{\mu}}{\hat{a}^{-1}+\hat{\mu}} \right)^y $$

Donde $\hat{\mu}$ es la predicción de la media de la variable, $\hat{a}$ es la dispersión de la estimación, y $\Gamma$ es la función Gamma. Ahora, mi pregunta es la estadística de software que uso tiene una forma y una escala de parámetro para el $\Gamma$ de la distribución, así que estoy confundido en cuanto a cómo estimar las probabilidades pronosticadas para cualquier entero $y$.

En la ecuación anterior, lo que hace Largo esperar que me de la oferta como de la forma y la escala de la $\Gamma$ función?

Answer 1

Me voy a tomar una conjetura en donde el problema ha surgido, y usted puede me corrija si me he equivocado.

Definir una cocina equipada binomial negativa y decir:

y $Γ$ es la función Gamma

A la derecha, que todo tiene sentido. Luego viene

el software estadístico yo uso tiene una forma y un parámetro de escala de la $Γ$ distribución

Y aquí es donde creo que tu confusión surge. La Gamma* distribución y la función Gamma son diferentes cosas (a pesar de que hay una conexión entre ellos!)

* Antes de que alguien salta en mi mal inglés, estoy usando el "Gamma" para $\Gamma(.)$ para distinguirla de la "gamma" de la función, $\gamma(.)$, y por extensión, la misma convención para la distribución, que es también a menudo denotado $\Gamma$. (Esto parece ser bastante común el uso, incluso si no seguir estrictamente las reglas en inglés, creo que es necesario para reducir el potencial de confusión, especialmente en esta cuestión, donde ya hay confusión sobre los diferentes significados de la palabra.)

La función Gamma es una función de un solo argumento como en la fórmula anterior.

La forma usual de la distribución Gamma tiene dos parámetros. No hay ninguna incoherencia de allí, son bastante diferentes objetos.

La función Gamma:

$$\Gamma (t)=\int _{0}^{\infty }x^{{t-1}}e^{{-x}}\,{{\rm {d}}}x.$$

Note that this is just a function (though one that arises frequently):

Two related functions are the incomplete Gamma function and the incomplete gamma function:

$\Gamma (s,x)=\int _{x}^{{\infty }}t^{{s-1}}\,e^{{-t}}\,{{\rm {d}}}t,$ and

$\gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{{s-1}}\,e^{{-t}}\,{{\rm {d}}}t.$

and where $\Gamma(t) = \lim_{x\rightarrow\infty} \gamma (t,x)$

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The Gamma distribution

Consider constructing a cdf as follows:

$$F(x;k) = \gamma (k,x)/\Gamma(k)$$

This has the value $0$ at $x=0$ and approaches $1$ as $x\rightarrow\infty$.

The density can be obtained by differentiation, giving:

$$f(x;k)={\frac {x^{{k-1}}e^{{-{x}}}}{\Gamma (k)}}\quad {\text{ for }}x>0{\text{ and }}k>0.$$

So far this only has one parameter, the shape. We get the second parameter by adding a scaling factor; if $Z$ has the above one-parameter-Gamma form, let $X=\lambda Z$, and $X$ will be a two-parameter Gamma.

Beware: there are two common forms for the two parameter Gamma distribution]*, the 'rate form' and the 'scale form'. Both forms are given at the Wikipedia page on the Gamma distribution

* there's a third, slightly less common parameterization of the two parameter Gamma, used with GLMs -- the shape-mean form.

Here's the scale form for the density:

$f(x;k,\theta )={\frac {x^{{k-1}}e^{{-{\frac {x}{\theta }}}}}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\quad {\text {}} x>0{\text{ y }}k,\theta >0.$

Here's the rate form

$f(x;k,\beta )={\frac {\beta^{k}x^{{k-1}}e^{{-{x\beta }}}}{\Gamma (k)}}\quad {\text {}} x>0{\text{ y }}k,\beta >0.$

He aquí una Gamma densidad con forma de parámetros 3 (y de la unidad de escala o tasa):

Al utilizar las funciones en un programa para el cdf, pdf, los cuantiles de la función y para la generación de números aleatorios, usted tiene que asegurarse de que está usando el mismo convenio (forma o frecuencia) como el programa!

En R, por ejemplo, uno puede hacer las cosas con la distribución Gamma a través de funciones como dgamma, pgamma, qgamma y rgamma (que, por defecto, el uso de la forma y de la tasa de parametrización, es necesario utilizar un nombre de parámetro para obtener la escala de la parametrización). Por otro lado, para la Gamma la función tendría que utilizar una llamada a gamma (un parámetro).