Este es un ejercicio de Rudin Principios de Análisis Matemático (Ch2). Deje $X$ ser un conjunto infinito con las siguientes métricas: $$d(p,q)=\left\{\begin{array}{cc}1, \quad p\ne q\\0, \quad p=q\end{array}\right.$$ No estoy seguro de si he respondido a las siguientes preguntas correctamente. (Pongo mis respuestas en paréntesis). Puede alguien por favor confirme o me corrija si estoy equivocado? Muchas gracias!
(1) Que los subconjuntos de a $X$ son abiertos? $\quad$(cualquier subconjunto de a $X$)
(2) Que están cerradas? $\quad$(cualquier subconjunto de a $X$)
(3) Que son compactos? $\quad$(sólo finito subconjuntos de a $X$)
El argumento clave de mi prueba de ello es que para cualquier $x\in X$, cualquier barrio de $x$ radio $r<1$ contiene sólo $x$, es decir, $\forall r<1, N_r(x)=\{x\}.$ a partir De este hecho, he obtenido respuestas a los puntos (1) y (2) muy fácilmente. Para (3), cualquier subconjunto infinito $A$ $X$ puede ser escrita como: $$A=\underset{x\in A}\cup\{x\},$$ que es una cubierta abierta de a $A$, ya que cada una de las $\{x\}$ está abierto en $X$. Esta abierto de la cubierta no puede tener un número finito de subcover (porque contendría sólo finito de puntos). Así que parece que sólo subconjuntos finitos puede ser compacto.
