Problema- Que $q$ sea una potencia de un primo $p$ diga $q=p^k$ . Demuestre que existe un grupo $G$ de orden $q(q-1)$ con un subgrupo abeliano elemental normal de orden $q$ y tal que todos los elementos de orden $p$ en $G$ son conjugados.
Lo intenté, pero fracasé. Permítanme escribir aquí lo que pensé
$\textbf{Try 1}$ - Si considero que $G=(C_p$$ \times C_p\times C_p...\times C_p) $$\times C_{q-1}$ donde $C_p$ es el producto directo de $k$ tiempos. Ahora es un grupo de orden $q(q-1)$ y también tiene un subgrupo abeliano elemental normal de orden $q$ pero no satisface todos los elementos del orden $p$ en $G$ son conjugados.
Puede ser que si uso productos semidirectos como $G=(C_p$$ \times C_p\times C_p...\times C_p)\times_\phi M $ for some group $ M $ possibly non abelian of order $ q-1 $, Is there hope with this, this will need at least an hour of thinking and trying , and choosing a good $ ¿también el \fis$?
$\textbf{Try 2}$ - Como sabemos que un subgrupo normal mínimo de un grupo soluble finito es abeliano elemental, entonces si puedo buscar un grupo soluble de orden $q(q-1)$ siempre y cuando tenga un subgrupo normal mínimo de orden $q$ estoy a mitad de camino, ahora "elementos de orden $p$ debe ser conjugado" está causando problemas. Es posible que se satisfaga aquí, pero no estoy seguro.
Se agradece cualquier ayuda.
