Encontrar\Nun grupo de orden $q(q-1)$ s.t. .....

Question

Problema- Que $q$ sea una potencia de un primo $p$ diga $q=p^k$ . Demuestre que existe un grupo $G$ de orden $q(q-1)$ con un subgrupo abeliano elemental normal de orden $q$ y tal que todos los elementos de orden $p$ en $G$ son conjugados.

Lo intenté, pero fracasé. Permítanme escribir aquí lo que pensé

$\textbf{Try 1}$ - Si considero que $G=(C_p$$\times C_p\times C_p...\times C_p)$$\times C_{q-1}$ donde $C_p$ es el producto directo de $k$ tiempos. Ahora es un grupo de orden $q(q-1)$ y también tiene un subgrupo abeliano elemental normal de orden $q$ pero no satisface todos los elementos del orden $p$ en $G$ son conjugados.

Puede ser que si uso productos semidirectos como $G=(C_p$$\times C_p\times C_p...\times C_p)\times_\phi M$ for some group $M$ possibly non abelian of order $q-1$, Is there hope with this, this will need at least an hour of thinking and trying , and choosing a good $¿también el \fis$?

$\textbf{Try 2}$ - Como sabemos que un subgrupo normal mínimo de un grupo soluble finito es abeliano elemental, entonces si puedo buscar un grupo soluble de orden $q(q-1)$ siempre y cuando tenga un subgrupo normal mínimo de orden $q$ estoy a mitad de camino, ahora "elementos de orden $p$ debe ser conjugado" está causando problemas. Es posible que se satisfaga aquí, pero no estoy seguro.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Su Prueba 1 funciona, pero hay que utilizar un producto semidirecto.

Para ver cómo/por qué, dejemos $C_p\times C_p\times\cdots \times C_p$ sea el grupo aditivo del campo finito $\Bbb{F}_q$ . Además, deja que $C_{q-1}$ sea el grupo multiplicativo del mismo campo (conocido por ser cíclico de orden $q-1$ ). Si dejamos que $\Bbb{F}_q^*$ actuar $\Bbb{F}_q$ por la multiplicación de campos, entonces todos los elementos no nulos de $\Bbb{F}_q$ están en la misma órbita de esa acción. El producto semidirecto convierte entonces esa órbita en una clase de conjugación.

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Si prefieres otro modelo (isomorfo al anterior, pero posiblemente más fácil de manejar), prueba con el grupo de matrices $$G=\left\{\left(\begin{array}{cc}\alpha&\beta\\0&1\end{array}\right)\,\bigg\vert\,\alpha,\beta\in\Bbb{F}_q,\alpha\neq0\right\}.$$ También puedes conocerlo como el grupo de transformaciones lineales afines de la recta $\Bbb{F}_q$ .