Si $gf$ es un ecualizador , es $f$ un ecualizador?

Question

Supongamos $gf$ es un ecualizador en una categoría $\mathfrak C$, creo que el $f$ no necessarly es un ecualizador, pero no sé cómo llegar hasta con un contraejemplo; realmente he intentado tan duro. Gracias por la ayuda.

Answer 1

(Tercera vez el encanto? -- viejo respuesta equivocada a la izquierda eliminado porque sus comentarios no se aplican aquí)

Considere la siguiente categoría con objetos de $\{1,2,3,4,5\}$.

1 --s--> 2 --f--> 3 --g--> 4 --p--> 5
  -------h------>            --q-->

Hay una flecha $n\to m$ siempre $n\le m$, y estas flechas son la única excepción de los siguientes casos:

• $fs \ne h: 1\to 3$
• $p \ne q: 4\to5$
• $pg \ne qg : 3 \to 5$

A continuación, $gf$ es un ecualizador de $p$$q$, como se ve por la inspección de todas las flechas que terminan en $4$:

• $g$ $\mathrm{id}_4$ porque $pg\ne qg$.
• $gf$ es el ecualizador a sí mismo.
• $gfs$ satisface $p(gfs)=q(gfs)$. Que los factores a través de $gf$ como debe ser, y la mediación de la flecha $s$ es trivialmente único.
• $gh$ es la misma flecha como $gfs$.

Sin embargo, $f$ no es un ecualizador. En particular, no es un ecualizador de $pg$ $qg$ porque $(pg)h=(qg)h$ aún $h$ no es un factor a través de $f$.

Answer 2

En muchos casos, esta propiedad de regular monomorphisms en realidad tiene.

1. Un trivial, pero ya bastante grande de la clase de los ejemplos es que cada monomorphism es regular.

2. Si $gf$ es regular monomorphism y $g$ es un monomorphism, a continuación, $f$ es regular monomorphism. Es decir, si $gf$ es el ecualizador de $u,v$, entonces uno puede comprobar que $f$ es el ecualizador de $ug,vg$.

3. Si $gf$ es un fuerte monomorphism, entonces también se $f$ es un fuerte monomorphism. Esta es una fácil observación, una prueba puede ser encontrado en Borceux, Manual de categórico álgebra, Volumen 1, la Proposición 4.6.5 (2).

4. Cada epimorphism es fuerte (loc. cit., parte (de 4) de que la Proposición). El converso tiene en cada regulares categoría: Borceux, Manual de categórico álgebra, Volumen 2, Proposición 2.1.4.

Por lo tanto, en un coregular categoría (= doble a la categoría regular), regular monomorphisms coinciden con fuerte monomorphisms, lo que implica la propiedad deseada. Además, de la existencia de ciertos (co)de los límites, una categoría es coregular cuando las monomorphisms son universales, es decir, si $A \hookrightarrow B$ es regular monomorphism y $A \to C$ es arbitrario de morfismos ("cobase cambio"), entonces también se $C \to B \cup_A C$ es regular monomorphism. Hay muchos ejemplos, por ejemplo $\mathsf{Set}$, $\mathsf{Top}$, $\mathsf{Haus}$ abelian categorías, y $\mathsf{Ban}_1$. Es $\mathsf{Grp}$ es coregular?

Lo que me pregunto es que la Proposición 6.4 en el papel Adhesivo y quasiadhesive categorías por Stephen Falta y Pawel Sobicinski lee: "El siguiente mantenga pulsado en cualquier categoría C: (i) si el mn es un regular monomorphism y m es arbitrario, entonces n es un habitual monomorphism;" creo que Henning del contraejemplo demuestra que esto es incorrecto.

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Addendum. El siguiente lema que aparece con frecuencia en los fundamentos de la geometría algebraica, pero también es útil aquí.

Lema. Deje $P$ ser una clase de morfismos en una categoría con pullbacks que es estable bajo pullbacks y la composición. Asimismo, se asume que cada diagonal de morfismos $Y \to Y \times_S Y$ se encuentra en $P$. A continuación, $gf \in P$ implica $f \in P$ (cancelación de la propiedad).

Prueba. Escribir $X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} S$ y el factor de $f$$X \xrightarrow{\Gamma_f} X \times_S Y \xrightarrow{\mathrm{pr}_2} Y$. Aquí, $\Gamma_f$ es un retroceso de la diagonal $Y \to Y \times_S Y$, e $\mathrm{pr}_1$ es un retroceso de $X \to S$. Ambos están en $P$. $\square$

En una categoría, regular monomorphisms siempre son estables bajo pullbacks (Manual, Vol. 1, Prop. 4.3.8 (2)), y dividir monomorphisms son siempre regulares. Esta prueba:

Corolario. En una categoría con pullbacks tal que regular monomorphisms son cerrados bajo la composición, la regular monomorphisms satisfacer la cancelación de la propiedad.

Esto se aplica a una gran clase de categorías, entre las que se coregular categorías, pero muchos más.