Creo que su argumento puede ser completado de la siguiente manera: $v_i$ debe ser impar, porque $u_i$ es impar (estoy asumiendo que usted está eligiendo a ser primos > $p_n$). Por lo $v_j - v_i$ es incluso; si ambos $v_i$ $v_j$ también son divisibles por $p_{n+1}$ $v_j-v_i$ es divisible por $2p_{n+1}$. Pero sin duda podemos elegir $v_1,v_2,v_3$ a mentir en un intervalo de longitud de $2p_n$ en algún lugar dentro de $[w, w+4p_n]$, por lo que el $|v_j-v_i| < 2p_n$. Esto excluye $2p_{n+1}$ partir de la división de $v_j-v_i$ si $i=j$.
ACTUALIZACIÓN: Aquí es un fuerte enfoque con más métodos analíticos. El número exacto de coprime residuos en $\mathbb Z_{p_n\#}$$\phi(p_n\#) = \prod_{i=1}^n (p_i-1)$. Uno de Mertens' teoremas da la asintótica para la fracción de los valores que esta representa en $\mathbb Z_{p_n\#}$:
$$\frac{\phi(p_n\#)}{p_n\#} \sim \frac{e^{-\gamma}}{\log p_n} \sim \frac{e^{-\gamma}}{\log n}.$$
Por otro lado, la fracción de valores en cualquier intervalo de $[w,w + p_n\#)$ divisible por $p_{n+1}$ es en la mayoría de las $1/p_{n+1} + O(1/p_n\#)$ (hay un pequeño error plazo dependiendo de donde $w$ se encuentra modulo $p_{n+1}$). Así que la mayoría de los residuos que son coprime a $p_1,\ldots,p_n$ no puede ser divisible por $p_{n+1}$.
Del mismo modo, incluso si se prueba contra la $p_{n+1}, p_{n+2}, \ldots, p_{n+\epsilon n}$ el número total de números enteros divisibles por cualquiera de estos términos será demasiado pequeño para exceder $\phi(p_n\#)$. Más precisamente, existe una constante $n_0$ de manera tal que el siguiente se tiene:
Para cualquier $n\ge n_0$$w\ge 0$, no es un número entero en $[w,w+p_n\#)$ cuya menos el primer factor es, al menos,$p_{n + \lfloor n/2 \rfloor}$.
Esto se deduce del simple hecho de que
$$\sum_{i=1}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{1}{p_{n+i}} < \frac{n/2}{p_n} \sim \frac{1}{2 \log n},$$
que por lo suficientemente grande como $n$ es siempre menor que $e^{-\gamma}/\log n$, junto con el hecho de que el número de términos en la suma es lo suficientemente pequeño para que el pequeño término de error no hacer una diferencia sustancial.
Podemos pulsar el constante $1/2$ un poco superior como $e^{-\gamma}$ está más cerca de a $0.56$ y por encima de la estimación de pérdidas, sino que sospecho que hay una forma más inteligente tamiz de la teoría de la argumentación de que pudiera hacerlo mejor que este método. Para calcular explícitamente un adecuado $n_0$, puede hacer referencia a esta otra respuesta a esta cita un eficaz versión del teorema de Mertens por Dusart.
