Probabilidad bayesiana en la distribución Bernoulli

Question

Dejemos que $D$ sea una distribución Bernoulli con $P[X=1] = \theta$ (y así $P[X=0]=1-\theta$ ). Sea $\chi = \{0,1\}$ sea una muestra iid extraída de $D$ . Supongamos una distribución a priori sobre $\theta$ con $\theta$ distribuido uniformemente entre 0 y 0,25.

¿Cuál es el valor de $p(\theta)$ para $\theta=\frac{1}{8}$ ¿Cuál es el valor de $p(\theta \vert \chi)$ para $\theta=\frac{1}{8}$ ?

Me confunde lo que pide la pregunta y cómo se relaciona todo. Hay otras partes, pero creo que si puedo entender lo que ocurre aquí podré entender el resto. Creo que se supone que debo encontrar la probabilidad de que la variable aleatoria $\theta$ adquiere el valor de $\frac{1}{8}$ dado que se distribuye uniformemente en el intervalo [0, $\frac{1}{4}$ ], pero ¿no es esta probabilidad 0 porque la probabilidad de elegir cualquier punto dado en un intervalo es 0?

Sé que debo estar pensando en esto incorrectamente porque debería usar la regla de Bayes para la segunda parte, y $p(\theta)$ debe interpretarse como la probabilidad previa de $\theta$ que definitivamente no debería ser 0.

Se trata de una pregunta de deberes, así que no busco una respuesta explícita, pero cualquier pista sería muy apreciada.

Answer 1

Creo que sólo quieren la densidad de probabilidad. Así que en este caso $p(\theta=\frac 18)=4$ porque estás repartiendo la cantidad total de probailidad, $1$ de manera uniforme en un intervalo de longitud $\frac 14$ . (Visualice un rectángulo con base $\frac 14$ , área $1$ y, por tanto, la altura $4$ .)

Para la segunda parte quieren de nuevo la densidad de probabilidad, ahora para los casos en los que se condiciona a $\chi=0$ y $\chi=1$ . Te dejo que intentes resolver esto con la regla de Bayes.

Answer 2

Yo diría que es natural que estés confundido.

¿Cuál es el valor de $p(\theta)$ para $\theta=\frac{1}{8}$ ?

es un poco confuso. En primer lugar, como usted ha señalado correctamente, $\theta$ es una variable aleatoria continua, por lo que $p(\theta)$ es en realidad una función de densidad.

Entonces, supongamos que el "valor de $p(\theta)$ para $\theta=\frac{1}{8}$ " equivale simplemente a evaluar $p(\theta)$ en ese valor [*]. En ese caso, el valor que se obtendría -llamémoslo $p_\theta( \frac{1}{8})$ - no es una probabilidad, es sólo el valor de una densidad de probabilidad.

Es cierto que la probabilidad de que $\theta$ toma ese valor particular es cero. Pero eso no importa. Lo que importa es que la probabilidad de que $\theta$ toma un valor en un intervalo de longitud $h$ alrededor de ese valor es $p_\theta( \frac{1}{8}) h$ para los pequeños $h$ . Por ello, tiene sentido compararlo con el valor a posteriori.

[*] Es de suponer que se dice de esa forma tan enrevesada porque sería aún más confuso escribir $p(\frac{1}{8})$ - esta confusión es consecuencia del abuso común de la notación de la escritura $p(x)$ y $p(y)$ para referirse a diferentes funciones de densidad, deberíamos escribir $p_X(x)$ , $p_Y(y)$ etc.