Prueba de $(2n)!/(n!)^2\le2^{2n}$ por inducción matemática?

Question

¿Cómo puedo abordar este problema utilizando la inducción matemática?

$$\frac{(2n)!}{(n!)^2} \leq 2^{2n}$$

Answer 1

Caso base (demostrando que la afirmación es cierta para $n=1$ ): $$\frac{(2)!}{(1!)^2} =\frac{2}{1^2}=2\leq 4=2^{2}\qquad \checkmark$$

Paso de inducción (demostrando que, si la afirmación es verdadera para $n=k$ , entonces es cierto para $n=k+1$ ):

Si la afirmación es verdadera para $n=k$ es decir, si $$\frac{(2k)!}{(k!)^2} \leq 2^{2k},$$ y multiplicando ambos lados por $\frac{(2k+1)(2k+2)}{(k+1)^2}$ obtenemos

$$\frac{(2k)!}{(k!)^2} \cdot\frac{(2k+1)(2k+2)}{(k+1)^2}\leq 2^{2k}\cdot\frac{(2k+1)(2k+2)}{(k+1)^2}.$$ Pero el lado izquierdo es sólo $$\frac{(2k)!}{(k!)^2} \cdot \frac{(2k+1)(2k+2)}{(k+1)^2}=\frac{(1\cdot2\cdot \ldots \cdot 2k)(2k+1)(2k+2)}{(1\cdot2\cdot \ldots \cdot k)(1\cdot2\cdot \ldots \cdot k)(k+1)(k+1)}=\frac{(2k+2)!}{((k+1)!)^2},$$ por lo que hemos demostrado que $$\frac{(2k+2)!}{((k+1)!)^2}\leq 2^{2k}\times \frac{(2k+1)(2k+2)}{(k+1)^2}.$$

Porque $$(2k+1)(2k+2)\leq (2k+2)(2k+2)=4(k+1)^2,$$ tenemos que

$$\frac{(2k+2)!}{((k+1)!)^2}\leq 2^{2k}\times 4=2^{2k+2},$$ que es lo que queríamos, es decir, que la afirmación es verdadera para $n=k+1$ .

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Un enfoque más sencillo, sin utilizar la inducción matemática, sería utilizar el teorema del binomio, $$2^{2n}=(1+1)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}.$$ A continuación, observe que $$\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{n!\; n!}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}$$ y que $\binom{2n}{k}\geq0$ para todos $0\leq k\leq 2n$ .

Answer 2

Un enfoque mecánico: $$\frac{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!}=\frac{(2n)!}{n!n!} \frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)(n+1)}.$$ Tenga en cuenta que $$\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)(n+1)}=2\frac{2n+1}{n+1}<2^2.$$