Encontrar la probabilidad de que la puntuación final es de 4 en un juego de dados con dos tiros

Question

Un juego utiliza un imparcial morir con las caras numeradas del 1 al 6. El dado es lanzado de una vez. Si muestra 4 o 5 o 6, a continuación, este número es el resultado final. Si muestra 1 o 2 o 3, a continuación, morir es arrojado de nuevo, y la puntuación final es la suma de los números que se muestran en ambos lanzamientos.

yo. Encontrar la probabilidad de que la puntuación final es de 4.

ii. Dado el dado es lanzado sólo una vez, encontrar la probabilidad de que la puntuación final es de 4.

iii. Dado el dado es lanzado dos veces, encontrar la probabilidad de que la puntuación final es de 4.

He logrado resolver la parte i y ii y compartir la solución a continuación. Yo soy incapaz de trabajar fuera de la parte iii, y agradecería la ayuda.

Mi solución:

yo. $P(4) + P(1,3) + P(2,2) + P(3,1) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{36} \cdot 3 = \dfrac{1}{4}$

ii. Sabemos que al morir se produce sólo una vez y que solo puede suceder cuando la puntuación es de 4, 5 o 6. El espacio muestral es de 3. Por lo $P(4)$$1/3$.

iii. Mi conjetura: $P(1,3) + P(2,2) + P(3,1) = 1/12$ --> al Parecer, esta respuesta es incorrecta y yo realmente no se puede averiguar por qué esto está mal y lo que el enfoque correcto sería.

Referencia: OCR Ene 2009 Probabilidad Y Estadística 1 (4732)

Answer 1

Sus respuestas y razonamientos son correctos para las partes 1 y 2.

Dado que el dado es lanzado dos veces implica que el primer morir tiro es un 1, un 2 o un 3.

En cada uno de estos casos sólo hay un resultado para el segundo de morir, que hará que su final la puntuación total para ser de 4 (si el primer morir, era un 1, segundo morir debe ser un 3; si muere primero fue un 2, segundo morir debe ser un 2, etc)

La probabilidad de acertar el número requerido es el mismo en cada uno de los casos, es decir $\frac{1}{6}$. Por lo tanto, la probabilidad es, en realidad,$\frac{1}{6}$.

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Se acercan a esta desde un punto de vista formal: deje que nuestro espacio muestral ser todas las formas de lanzar dos dados de forma consecutiva. Deje $A$ representan el caso de que se obtenga una calificación de cuatro (donde la segunda tirada, se ignora si el primer rollo es lo suficientemente alto), y deje $B$ representan el caso de que ambos rollos son de contado (es decir, la primera tirada es de un 1,2, o 3).

El problema pide a encontrar $Pr(A|B)$

Por definición: $Pr(A|B) := \frac{Pr(A\cap B)}{Pr(B)}$

Como usted señalaba, $A\cap B = \{(1,3),(2,2),(3,1)\}$$Pr(A\cap B) = \frac{3}{36}$.

Y nota: $Pr(B) = \frac{18}{36} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (ya que hay 3 posibilidades de 6 para la primera tirada de dados para desencadenar la necesidad de la segunda tirada de dados).

Por eso, $Pr(A|B) = \frac{Pr(A\cap B)}{Pr(B)} = \frac{3/36}{1/2} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Answer 2

En términos de probabilidades condicionales, $$p(4|\text{twice})=\frac {p(4\cap \text{twice})}{p(\text{twice})}$$

$$=\frac{3\times(\frac {1}{36})}{\frac 12}=\frac 16$$

Answer 3

Tenga en cuenta que si $X=4$ es el caso de que la calificación final es de cuatro, $N=1$ es el evento que se tira el dado una vez, y $N=2$ es el evento que se tira el dado dos veces, luego

$$P(X=4) = P(X=4\mid N=1)P(N=1) + P(X=4\mid N=2)P(N=2).$$

La solución para $P(X=4\mid N=2)$,

$$P(X=4\mid N=2) = \frac{P(X=4) - P(X=4\mid N=1)P(N=1)}{P(N=2)}.$$

Se calcula que $P(X=4) = \frac14,$ y que $P(X=4\mid N=1) = \frac13.$ Podemos encontrar fácilmente que $P(N=1) = \frac12 = P(N=2),$ así

$$ P(X=4\mid N=2) = \frac{\frac14 - \frac13 \cdot \frac12}{\frac12} = \frac16.$$

Es decir, si se puede resolver de dos de las tres partes de el problema correctamente, a continuación, puede utilizar la ley de la total probabilidad de resolver para la tercera parte.

Answer 4

Creo que es más claro para romper la 1ª y la 2ª rueda en entidades separadas:

$i)1st:$ espacio muestral:${6\choose 1}=6$. Probabilidad de que se $4$:$\space {|(4)|\over 6}={1\over 6}.\space$$ 2nd:\space$espacio muestral:$\space$posible $1st$ rollos combinado con todas las $2nd$ rollos:$\space {6\choose 1} {6\choose 1}=6*6=36.$ de Probabilidad de que la suma $4$:$\space {|(1,3),(2,2),(3,1)|}\over 36$$={3\over 36}={1\over 12};\space$${2\over 12}+{1\over 12}={3\over 12}={1\over 4}.\space$ Son independientes/discontinuo, por tanto, 'o'/añadido.

$ii)1st:$ espacio muestral:${3\choose 1}=3;\space$de Probabilidad de que se $4$:$\space{|(4)|\over 3}={1\over 3};\space 2nd:\space$n/a

$iii)1st:$ n/a;$\space\space 2nd:\space$espacio muestral:$\space 1st$ roll debe ser $\in \{1,2,3\};\space$${3\choose 1}{6\choose 1}=3*6=18;$$\space{|(1,3),(2,2),(3,1)|}\over 18$$={3\over 18}={1\over 6}$