¿Cuál es la definición "adecuada" de una curva geodésica?

Question

Estoy haciendo un curso de geometría diferencial, y hasta ahora siempre había pensado que la definición de geodésica es (a grandes rasgos) una curva sobre una superficie con la mínima longitud entre sus extremos. Sin embargo, mi profesor, siguiendo el ejemplo de do Carmo, la define como cualquier curva cuya curvatura geodésica $\kappa_g=0$ . Mostramos que esto es equivalente a satisfacer el siguiente par de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales:

$$(\boldsymbol{E}u' + \boldsymbol{F}v')' = \frac12(\boldsymbol{E}_u(u')^2 + 2\boldsymbol{F}_uu'v' + \boldsymbol{G}_u(v')^2)$$

$$(\boldsymbol{F}u' + \boldsymbol{G}v')' = \frac12(\boldsymbol{E}_v(u')^2 + 2\boldsymbol{F}_vu'v' + \boldsymbol{G}_v(v')^2)$$

A continuación, realizamos un cálculo increíblemente doloroso sobre la longitud de la familia de curvas $\gamma_\lambda$ para demostrar que las geodésicas (es decir, aquellas curvas que satisfacen las ecuaciones geodésicas anteriores) son puntos críticos de la funcional

$$\displaystyle\mathcal{L}(\lambda) = \int_a^b{\left\|\frac{d\gamma_\lambda}{dt}\right\| dt},$$

que es la longitud de la curva. Por lo tanto, según la definición de mi profesor (y del libro de texto), las geodésicas no son necesariamente minimizadoras de la longitud, sólo puntos críticos de $\mathcal{L}$ . Por lo tanto, en una esfera, dos puntos no antípodas tienen dos geodésicas: la obvia que minimiza la longitud, y la otra que recorre el camino largo alrededor de la esfera (que es, en este caso, un punto de silla de $\mathcal{L}$ ). Esto no es sólo un descuido por parte de mi profesor, sino que llamó explícitamente la atención sobre este hecho.

Mi pregunta es, ¿cuáles son las ventajas y desventajas de estas dos definiciones conflictivas? Sigo viendo la de minimizar la longitud en casi todas partes.

En una nota relacionada, el hecho de que una geodésica sea sólo un punto crítico, no necesariamente un mínimo, deja abierta la posibilidad de que una geodésica sea realmente el El más largo camino entre dos puntos. ¿Hay alguna situación en la que esto sea realmente posible? Parece que siempre se puede perturbar ligeramente una curva para que se mantenga dentro de la imagen de un gráfico, pero aumentando su longitud infinitesimalmente. ¿Existen espacios extraños en los que esto no sea así?

Answer 1

No veo ninguna ventaja en restringir la definición de geodésica para que sea mínima, después de todo, eso es lo que llamamos "geodésicas mínimas". A medida que se profundiza en la geometría (riemanniana y de otro tipo), se encuentran muchas otras definiciones que se dan a través de ecuaciones diferenciales. Todas ellas tienen sus teorías locales -en este caso, encontramos que cada punto de una variedad riemanniana tiene una vecindad donde las geodésicas minimizadoras son únicas- y esto no detecta el comportamiento global. Pero esto puede ser algo bueno, porque una vez que se ha clavado la imagen local, se tiene una base más firme para hacer preguntas globales. En este caso, podríamos preguntar: ¿cuándo exactamente una geodésica Detener siendo una geodésica minimizadora?

Puede que estas palabras no signifiquen nada, y en realidad no es necesario, pero un ejemplo diferencial-geométrico similar que podría arrojar luz por analogía es el teorema de Darboux, que dice que todas las variedades simplécticas de la misma dimensión son localmente simplectomorfas. Es decir, en lo que respecta a lo que nos interesa (es decir, la "estructura simpléctica"), las vecindades de dos puntos cualesquiera en dos variedades simplécticas equidimensionales son indistintas. Esto también es cierto en el caso de las variedades suaves, pero no en el de las variedades riemannianas, ya que la curvatura nos proporciona una invariante local con la que distinguirlas. (De hecho, la curvatura es la sólo ¡invariante local! Pero esa es otra historia). Pero, sin embargo, la gente se llama a sí misma geometría simpléctica, y de hecho hay algunos global cuestiones de geometría simpléctica.

La moraleja de la historia es que en geometría se suele empezar con una idea (por ejemplo, "el camino más corto entre dos puntos"), se examina el comportamiento local y luego se trabaja para entender cómo la historia local se une para formar una imagen global. Esto hace que sea muy natural empezar con definiciones locales como la que mencionas.

Answer 2

Una respuesta corta es que la definición a través de la curvatura geodésica es mucho más fácil de verificar, y por lo tanto mucho más fácil de demostrar cosas.

Answer 3

Un ejemplo de geodésica es la camino más largo en cierto sentido está en la relatividad de Einstein. Está relacionado con la Paradoja de los gemelos En este caso, dos gemelos parten de un punto del espacio-tiempo y se encuentran de nuevo en otro punto del espacio-tiempo, para descubrir que uno ha envejecido más que el otro.

La geodésica es la trayectoria más larga medida por un reloj que pase por ella. Para la Relatividad Especial, se trata de una línea recta y una velocidad constante, es decir, un movimiento inercial, y cualquier reloj que pase por cualquier otro camino medirá menos tiempo.

Answer 4

Me parece que la única situación posible en la que una geodésica es el camino más largo (entre la clase de caminos inyectivos) entre dos puntos es cuando es el único camino; en particular, en algunas (sub)variedades unidimensionales (líneas pero no círculos). En este caso también es el camino más corto.

Hay que tener en cuenta que todos los minimizadores del funcional de longitud son también puntos críticos, por lo que todo "camino más corto" es también una geodésica, pero no a la inversa.