Demostrar que en cualquier conjunto de $2000$ números reales distintos existen dos pares $a > b$ y $c > d$ con $a \neq c$ o $b \neq d$ , $$\left|\frac{a-b}{c-d} - 1\right| < \frac {1}{100000}\;.$$
Ni siquiera entiendo cómo abordaría esta prueba, y mucho menos cómo la completaría.
Este es un problema de la lista 2013 de IMo, vea esta solución oficial: Solución preseleccionada por la OMI en 2013
Como muestra la solución, los números $2000$ a $\dfrac{1}{100000}$ que aparecen en la declaración de t puede sustituirse por cualquier $n\in N$ y $r>0$ s $$r(1+r)^{\dfrac{n(n-1)}{2} -1}>2$$
Posible esbozo de prueba: wlog tenemos $1999000$ claras diferencias en la forma $|a-b|$ y los pedimos. Deje que $|a_1-b_1|$ sea el mínimo y $|c_1-d_1|$ sea la máxima.
Si no podemos encontrar dos consecutivos para nuestra desigualdad, $$|c_1-d_1|\ge |a_1-b_1|\cdot (1+10^{-5})^{1998999} > |a_1-b_1|\cdot 480284911$$ entonces simplemente tome ese par de $(|c_1-a_1|,|c_1-b_1|)$ , $(|d_1-a_1|,|d_1-b_1|)$ que es mayor.
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El principio del encasillamiento, supongo.
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No necesariamente. Si elegimos al azar, podría ser que cualquiera de los dos $a=c$ o $b=d$ y seguir cumpliendo la primera condición.
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Correcto, los 2000 números son distintos, pero los pares elegidos pueden no consistir en entradas necesariamente distintas sin la restricción extra.
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@RossMillikan Consideremos, por ejemplo, el conjunto $\{1,2,4,\ldots,2^{2000}\}$ . La condición dice que dos pares de números estarán aproximadamente igual de espaciados. Debido a los intervalos de duplicación en este conjunto, entonces para satisfacer la condición debemos tener $a=c$ para obtener una fracción cercana a $1$ como $\dfrac{2^{20}-2}{2^{20}-1}$ .
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@Théophile: Tienes razón. He borrado mis comentarios.